高層建筑救火非線性模型研究

【摘要】根據(jù)高層建筑火災蔓延及救火過程的非線性的特點，建立了火勢隨時間變化的非線性模型．進而確立高層建筑救火總費用的目標函數(shù)，建立一個高層建筑救火的非線性數(shù)學模型．然后，運用微積分和數(shù)值計算的有關(guān)知識對數(shù)學模型進行分析與求解，從而得到高層建筑救火的最低費用和需要投入消防員的人數(shù)．

【關(guān)鍵詞】高層建筑；火災；非線性模型

近年來，城市建筑越來越高，高層建筑火災的危害越來越大．高層建筑救火已成為一個社會性的難題，筆者運用數(shù)學方法對其進行研究，可提高火災救援的工作效率，從而緩解目前消防部隊普遍存在的經(jīng)費不足與火災救援任務(wù)日漸繁重的矛盾．

1.問題的分析

一旦發(fā)現(xiàn)高層建筑失火后，應(yīng)派多少消防員前去救火？派的消防員越多，燒毀建筑物的損失越小，但是救援的開支會越大，所以需要綜合考慮建筑物損失費和救援費與消防隊員人數(shù)之間的關(guān)系，以總費用最小來決定派出消防隊員的數(shù)目．

損失費通常正比于建筑物燒毀的體積，而燒毀體積與失火、滅火（指火被撲滅）的時間有關(guān)，滅火時間又取決于消防隊員的數(shù)目，消防隊員越多滅火越快．救援費除了與消防隊員人數(shù)有關(guān)外，也與滅火時間長短有關(guān)．記失火的時刻為t=0，開始救火的時刻為t=t1，滅火的時刻為t=t2．設(shè)時刻t時建筑物的燒毀體積為V(t)，則造成損失的建筑物燒毀體積為v(t2)．

dVdt是單位時間燒毀的體積，表示火勢蔓延的程度．在消防隊員到達之前，即0≤t≤t1，火勢越來越大，即dVdt隨著t的增加而增加；開始救火后，即t1≤t≤t2，如果消防隊員救火能力足夠強，火勢會越來越小，即dVdt應(yīng)減少，并且當t=t2時，dVdt=0．

救援可以分為兩部分：一部分是滅火器材的消耗與消防隊員的薪金等，與消防隊員人數(shù)及滅火所用的時間均有關(guān)；另一部分是運送消防隊員和滅火器材等一次性支出，只與消防隊員人數(shù)有關(guān)．

2.模型的建立

需要對燒毀建筑物的損失費、救援費及火勢蔓延程度dVdt的形式作出假設(shè)．

(1)損失費與建筑物燒毀體積V(t2)成正比，比例系數(shù)為c1，c1即燒毀單位體積的損失費．

(2)火災以失火點為中心，按照近似半橢球體積不斷蔓延（見下圖）.

圖1燒毀體積V(t)

假設(shè)火災按軸a、軸b的蔓延都是勻速的，稱之為線速度，豎向蔓延的線速度是β，橫向蔓延的線速度是γ，且向上蔓延更快，即β>γ．

從失火到開始救火這段時間（0≤t≤t1）內(nèi)，火災自由蔓延，燒毀體積V隨時間變化:

V(t)=23πa2b=23π(γt)2βt=23πγ2βt3．

燒毀體積隨時間的變化率稱為火勢，即火災蔓延的體積速度，記為E：E(t)=dV(t)dt=2πγ2βt2.火勢變化率E′(t)=4πγ2βt，火勢加速度A=E″(t)=4πγ2β.由此可見開始救火之前，火勢是以一個內(nèi)在恒定的加速度在蔓延.

(3）假設(shè)派出消防隊員x名，每個隊員滅火的平均線速度為λ．那么開始救火以后（t1≤t≤t2），火災豎向蔓延的速度為β-λx，橫向蔓延的速度為y-λx．要最終撲滅火，應(yīng)有λx>β>γ．于是火勢加速度變?yōu)锳(t1，t2)=4π(γ-λx)2(β-λx)<0，說明火勢有減弱的趨勢.在區(qū)間［t1，t］上對該加速度進行兩重積分，不難得到火勢隨時間變化函數(shù)為：

E(t)=dV(t)dt=2π(γ-λx)2(β-λx)(t-t1)2+2πγ2βt21，t>t1.

所以，火勢隨時間變化dV(t)dt如下圖所示：

圖2火勢dV(t)dt變化趨勢

記t=t1時，dV(t)dt=c．即：

c=2πγ2βt21．（１）

當t=t2時，dV(t)dt=0．于是，2π(γ-λx)2(β-λx)(t2-t1)2+c=0，故：

t2-t1=c2π(γ-λx)2(λx-β).（２）

由定積分的相關(guān)知識

V（t2)=∫t102πγ2βt2dt+∫t21［2π(γ-λx)2(β-λx)(t-t1)2+c］dt

=2π3γ2βt31+2π3(γ-λx)2(β-λx)(t2-t1)3+c(t2-t1).

將（１）式、（２）式代入上式得

V(t2)=2π3γ2βt31+4π3γ3β32t31(λx-γ)-1(λx-β)-12.（３）

(4）假設(shè)每個消防隊員單位時間的費用為c2，于是每個消防隊員的救火費用是c2(t2-t1)；每個消防隊員的一次性支出是c3．

根據(jù)假設(shè)條件(１）和(4），燒毀建筑物的損失費為c1V(t2)，救援費為c2(t2-t1)x+c3x．將式（２）、式（３）代入，得到救火總費用為

C(x)=c1V(t2)+c2(t2-t1)x+c3x

=c12π3γ2βt31+4π3γ3β32t31(λx-γ)-1(λx-β)-12+c2c2π(γ-λx)2(λx-β)x+c3x

=2π3c1γ2βt31+4π3c1γ3β32t311λx-y#8226;1λx-β+c2γβ12t11λx-y1λx-βx+c3x.（４）

問題歸結(jié)為求x使C(x)達到最小．令dC(x)dx=0，x需滿足下列方程：

λ4π3c1γ3β32t31+c2γβ12t1x(λx-y)-1+12(λx-β)-1-c2γβ12t1(λx-γ)-1(λx-β)-12=c3.（5）

3.結(jié)論

由式（４）給出的總費用由四項三部分組成．第一部分是由前兩項組成的燒毀建筑物的損失費：

2π3c1γ2βt31+4π3c1γ3β32t311λx-y#8226;1λx-β.

其中第一項是在救火前造成的高層建筑物損失費，可見此項與單位建筑物體積的價值c1及火勢蔓延的速度β，γ成正比，這顯然是符合實際的；這一項還與自然著火的時間t1的立方成正比，這也是符合實際的，且說明了要減少損失，就必須盡早發(fā)現(xiàn)火情．

第二部分是救援費中的消防隊員在救火期間的救火費用：c2γβ12t11λx-γ#8226;1λx-βx，這一項與c2，β，γ，t1成正比，與λ成反比，這顯然是符合實際的．

第三部分是救援費中消防隊員的一次性支出：c3x，這一項顯然符合實際．

在應(yīng)用這個模型時，c1，c2，c3是已知常數(shù)，β，γ，λ是由建筑物類型、消防隊員素質(zhì)等因素決定的．

方程（5）是一個無理方程，直接求解是很困難的.但如果借助計算機編程來求解就比較容易了.一種方法可以借助Matlab工具畫出函數(shù)C(x)的圖像，從圖像中就可查出C(x)的有意義的最小值和對應(yīng)的x值，這是一個比較直觀的方法.

方法二，根據(jù)最速下降法，將方程（5）轉(zhuǎn)化成一個迭代方程：

xt=λ4π3c1γ3β32t31+c2γβ12t1x(λx-γ)-1+12#8226;(λx-β)-1-c2γβ12t1(λx-γ)-1(λx-β)-12-c3.

用這個迭代的方法也能找到最優(yōu)解.

以方法一為例，假設(shè)某高層建筑深夜11：00失火，5分鐘后被發(fā)現(xiàn)并報告給消防隊，消防隊在了解基本情況后初步斷定火勢蔓延豎向速度為β=0.1 m/s，橫向蔓延速度為γ=0.02 m/s，并迅速研究對策，決定5分鐘內(nèi)到達現(xiàn)場開始滅火，t1=600 s.假設(shè)每個消防員的滅火速度為λ=0.03 m/s，則必須派3個以上的消防員才有可能滅火.假設(shè)建筑物平均單位體積的價值c1=2000元，每個消防員的一次性消耗費用c3=1000元，單位時間內(nèi)平均每個消防員的救火費用c2=10元/s.將這些參數(shù)代入到（４）式得到：

C(x)=3.6191×107+4.5779×106×10.03x-0.02#8226;10.03x-0.1+37.947×10.03x-0.02#8226;10.03x-0.1x+1000x.

用Matlab畫出其圖像如下圖：

圖3救火總費用隨消防員人數(shù)變化從上圖可以看出，隨著投入救火隊員數(shù)量的增加，救火費用會迅速下降，達到一定的人數(shù)后，費用又開始慢慢上升.顯然后面緩慢增加的都是人員的費用，因為燒毀建筑物的損失費是不會因為多投入消防員而增加的.這說明并不是消防隊員人數(shù)越多越好，達到一定數(shù)量后，不但對救火沒有幫助，反而增加救火的費用.

圖4救火中費用隨投入的消防員人數(shù)變化（圖像局部放大）在90和120之間將圖像局部放大，如圖4所示，可以明顯地看出C(x)在114處取得最小值.說明派出114名消防員最合適，對應(yīng)的救火總費用為36379741元.

【參考文獻】

［1］高云，張浩，王輝．高層建筑救火模型的研究［J］.中國安全科學學報，2009，19（9）：87-90.

［2］趙樹嫄．微積分［M］．北京：中國人民大學出版社，2007.

［3］同濟大學數(shù)學系．高等數(shù)學［M］.北京：高等教育出版社，2006.