輸油管布置的數學模型

【摘要】本論文研究了輸油管線鋪設最小費用問題，對問題1建立優化模型，運用函數極值理論及MATLAB軟件求出最優解并給出了相應的鋪設方案.首先我們運用機理分析說明公用管線必與鐵路垂直，簡化了問題，通過研究最一般的鋪設方案的費用最小問題，經過嚴密推理，得出鋪設方案存在公用管線的控制條件，最后得出在該條件控制下的兩種鋪設方案并分別求出最優鋪設費用和站點位置，通過MATLAB編程求出最優解并給出鋪設方案.

【關鍵詞】極值理論；最小費用；管線鋪設

1.問題的重述

某油田計劃在鐵路線一側建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油.由于這種模式具有一定的普遍性，油田設計院希望建立管線建設費用最省的一般數學模型與方法.要求作者建立合理的數學模型，給出在考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形下，在兩煉油廠和車站之間建立費用最省的輸油網絡路線圖.

2.問題的分析

由于實際中煉油廠到鐵路線的距離不同，煉油廠之間的距離不同，管線經過的區域不同等因素，所以要建立最省費用的管線需要綜合考慮各種因素.煉油廠可以共用管線也可以不共用管線，當共用管線時需考慮共用管線費用與非共用管線費用之間的關系.當有共用管線時，共用管線需垂直通向鐵路，車站建在共用管線與鐵路相交處，此時共用管線到鐵路的費用是最省的.對于問題１，不考慮區域問題帶來的附加費用，煉油廠、鐵路的位置未知，需同時考慮兩者.對于問題２，由于兩煉油廠分別在郊區與城區，鋪設在城區的管線還需增加附加費用.問題３比要問題１更接近實際，管線的費用各不相同，應該盡可能地縮小費用高的管線長度.

3.模型假設與符號說明

ⅰ模型的假設：

（1）假設鐵路是筆直的.

（2）鐵路的寬度可以忽略不計，且把兩煉油廠和車站看成質點.

（3）假設油管在非轉彎處筆直鋪設.

（4）忽略管道接口處的接口焊接費用.

（5）對于問題2中的工程咨詢公司的估算是客觀的.

ⅱ符號說明：

f鋪設管線的費用f1郊區鋪設管線的費用f2城區鋪設管線的費用cA廠到城郊分界線的垂直距離c1每千米輸送A廠成品油的管線價格（萬元／千米）c2每千米公用管線的價格c3鋪設城區管線的附加費用c4輸送B廠成品油的管線價格（萬元／千米）(x，y)共用管線與非共用管線的交點坐標(0，a)A廠的坐標(l，b)B廠的坐標(c，s)城區管線與郊區管線的交點坐標4.模型的建立與求解

首先建立如圖1-1所示平面直角坐標系，P表示兩管線匯合處；P1表示A煉油廠，坐標為P1(0，a)；P2表示B煉油廠，坐標為P2(l，b)；E表示車站，坐標為E(x，0)；從A向鐵路線作垂線，以垂足為坐標原點，地面所在平面為xOy平面.線段PE與x軸垂直，垂足為E.

由于兩煉油廠在鐵路同一側，根據兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，管線鋪設可能“共用管線”也可能“不共用管線”兩種方案.根據兩種方案建立一個一般模型，即“共用管線”模型，共用管線長度不為零時為“共用管線方案”，當共用管線長度為零時為“不共用管線”方案.

要使費用最小，共用管線一定與鐵路線垂直，如果不垂直，如圖1-1所示，如果共用管線為PE′，顯然P1E

圖1-1于是有最小費用的一般模型：

f(x，y)=c1(a-y)2+x2+c4(b-y)2+(l-x)2+c2y，(y≥0).

由題意知：c1=c4，所以

f(x，y)=c1(a-y)2+x2+c4(b-y)2+(l-x)2+c2y，(y≥0).①

求f(x，y)對x的偏導：

fx=c1x-l(1-x)2+(b-y)2+c1xx2+(a-y)2，由多元函數極值理論，

令fx(x)=0，即

c1x-c(l-x)2+(b-y)2+c1xx2+(a-y)2=0.

化簡，得(b-y)2(x-c)2=(a-y)2x2.②

求f(x，y)對y的偏導：fy=c1y-b(l-x)2+(b-y)2+c1y-ax2+(a-y)2+c2=c1y-b|b-y| 1+(c-x)2(b-y)2+c1y-a|b-a| 1+x2(a-y)2+c2.

由②可知：(c-x)2(b-y)2=x2(a-y)2，所以fy可以變形為下式：

fy=c11+x2(a-y)2y-b|b-y|+y-a|y-a|+c2.

a和b是兩個變量，我們不妨假設b>a>0.

1.當a0，即fy>0，所以在此區間內f(x，y)取不到最小值.

2.當y>b時，fy=2c11+x2(a-y)2+c2，而c1，c2均大于0，同理在這個區間里面目標函數也同樣取不到最小值.

3.當0

令-2c11+x2(a-y)2+c2=0.

即x2(a-y)2=2c1c22-1，所以2c1c22-1≥0.

即：2c1c22≥1.

故有2c1≥c2.即c1c2≥12.③

所以，只有當2c1≥c2時，f(x，y)才有最小值.

令fx=0，fy=0，有方程組：

c1x-c(l-x)2+(b-y)2+c2xx2+(a-y)2=0，

c1y-b(1-x)2+(b-y)2+c1y-ax2+(a-y)2+c2=0.

解方程組：

x1=(b-a)4c21-c222c2-l2，

y1=a+b2+c2l24c21-c22 .(ⅰ)

x2=(a-b)4c21-c222c2+l2，

y2=a+b2-c2l24c21-c22 .(ⅱ)

上文已假設b>a，并求得y

y1=a+b2+c2l24c21-c22>a+a2+c2l24c21-c22>a.

所以解（ⅰ）不符合題意，取y值為

y2=a+b2-c2l24c21-c22 .

對應的x的值為：x2=(a-b)4c21-c222c2+l2.

故點P的坐標為P(x2，y2)，

共用管線長度為y2，此時f(x，y)有最小值，此時y2≥0.解得c1c2≥121+la+b2 .

與③聯立可得c1c2≥121+la+b2 .

同理由y

可知c1c2<12lb-a2+1.

故c1c2<121+la+b2或c1c2≥12lb-a2+1時，①式在y≥0時無極值.

所以當121+la+b2≤c1c2≤12lb-a2+1時，共用管線在點P(x2，y2)處開始鋪設，車站建在點E(x2，0)處.

當c1c2<121+la+b2或c1c2≥12lb-a2+1時，由上述分析知：若鋪設共用管線則無極小值，根據實際情況最小費用存在，所以共用管線方案不成立，最小費用應在無共用管線的方案中取得.建立費用函數如下：

f(x)=x2+a2+(l-x)2+b2，求其最小值.

求導： f′(x)=xx2+a2+x-l(l-x)2+b2 .

令f′(x)=0，得x2a2=(x-l)2b2.

化簡后解得兩個駐點x1和x2：

x1=ala+b，

x2=ala-b.

當取解x1時，原函數化簡得

f(x1)=(a+b)1+l2(a+b)2.

當取解x2時，原函數化簡得

f(x2)=(a+b)1+l2(a-b)2.

顯然有f(x2)>f(x1).

根據實際情況取函數值較小的極值點x1.

綜上所述：

在121+la+b2≤c1c2≤12lb-a2+1的情況下，需鋪設公共管線才能使費用最小，車站建在點E處，坐標為（a-b)4c21-c222c2+l2，0，點P為非，點坐標為最佳方案的示意圖如右圖.

在c1c2<121+la+b2或c1c2≥12lb-a2+112的情況下，不采用共用管線，車站設在鐵路線上E′點，坐標為ala+b，0，最佳方案的示意圖設計如右圖.

【參考文獻】

［1］韓中庚.數學建模方法及其應用（第二版）.北京：高等教育出版社，2009.

［2］劉衛國.MATLAB程序設計教程.北京：中國水利水電出版社，2005.