高等數學背景下的一道高考題

隨著新課改的不斷推進，參與高考命題的專家越來越重視初、高等數學知識的銜接.如2010年全國新課標卷（理科卷）的13題就是這樣的一道好題.題目如下：

設y=f(x)為區間［0，1］上的連續函數，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機模擬方法近似計算積分∫10f(x)dx，先產生兩組（每組N個）區間［0，1］上的均勻隨機數x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個點(x1，y1)(i=1，2，…，N)，再數出其中滿足y1≤f(x1)(i=1，2，…，N)的點數N1，那么由隨機模擬方案可得積分∫10f(x)dx的近似值為.

高數背景解讀：此題中出現的高等數學知識有微積分、幾何概率、大數定理、蒙特卡洛法.

1.微積分

根據定積分的定義，∫baf(x)dx的幾何意義為：函數f(x)在區間［a，b］上與x軸所圍區域的有向面積，當f(x)在x軸上方時，面積取正，當f(x)在x軸下方時，面積取負.

因為y=f(x)在區間［0，1］上連續，所以∫10f(x)dx存在.設f(x)與x軸所圍的區域為A，所以∫10f(x)dx=SA（SA表示區域A的面積）.又因為0≤f(x)≤1，所以區域A區域B={(x，y)|x∈［0，1］，y∈［0，1］}.即有0≤∫10f(x)dx≤1.

2.幾何概率

如在一個區域Ω(可以是一個區間、平面區域或立體區域)中等可能地投點，該區域大小可以計量(如長度，面積或體積等)，并記作SΩ.其中，“等可能”是指假如A為區域Ω內的任一子區域，則點落入A的概率與A的計量SA成正比，而與A的位置及形狀無關.可有“點落在A內”這一事件的概率計算公式P(A)=SASΩ.這一類概率就稱為幾何概率.

設在區域B中任意取一點，則該點屬于區域B的概率為P，則有P=SASB=SA1=SA，即有∫10f(x)dx=P.

3.大數定理

在獨立實驗序列中，當實驗次數n無限增加時，事件A的頻率ξn（ξ是n次實驗中事件A發生的次數），依概率收斂于它的概率P(A).

即：當試驗在不變的條件下，重復進行多次時，隨機事件的頻率可以替代它的概率.設集合C={(xi，yi|xi）∈［0，1］，yi∈［0，1］，i=1，2，…，N}，集合D={（xi，yi)|xi∈［0，1］，yi∈［0，f(xi)］，i=1，2，…，N1}.很顯然，在隨機的前提下，當N足夠大時，N1也會相應的增大，N1N就會逐漸向P靠近，即P≈N1N，即∫10f(x)dx≈N1N.

4.蒙特卡洛法

又稱隨機模擬法，是二戰時期美國物理學家Metropolis執行曼哈頓計劃的過程中提出來的.是指當問題或對象本身具有概率特征時，可以用計算機模擬的方法產生抽樣結果，根據抽樣計算統計量或者參數的值.

題目中“隨機模擬”的方法，其實質就是蒙特卡洛法.

總結：這道題目立意新，情境新，思維價值高，拓寬了考生的視野，很好地考查了學生的閱讀理解能力、知識遷移能力及分析問題、解決問題的能力.

【參考文獻】

［1］2010年高考新課標全國卷理科數學試題.

［2］石友印.概率論與數理統計.北京：冶金工業出版社，2009.