解幾定值 五法可循

解析幾何中的定點定值問題具有兩個明顯的特征，一是變中有不變或者是動中有不動，二是定值定點是什么有待探求.求解此類問題，技巧要求比較高，運算復雜，學生覺得比較困難，但是這類問題的解答還是有規(guī)律可循，結合各地高考題、模擬考題中出現(xiàn)的定點定值問題，總結規(guī)律如下。

一、利用方程有定解求定點

含參數(shù)方程的定解與參數(shù)變化無關，求方程的定解時，通常將參數(shù)分離，令參數(shù)系數(shù)為零，轉化為求方程組的解，解幾中的定點問題也可以先建立含參數(shù)的方程，再求方程的定解。

例.已知動圓過定點，0，且與直線x=-相切，其中p>0。

（I）求動圓圓心C的軌跡的方程；

（II）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α，β變化且α+β為定值θ（0<θ<π）時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標。（05年山東理工）

分析：要求的是直線過定點的問題，不妨先求出直線方程，然后再分離參數(shù)，轉化為求定解問題。

解：（I）（略解）圓心C的軌跡方程為：y2=2px（p>0）

（II）設A，y1，B，y2由題意得x1≠x2（否則α+β=π）且x1，x2≠0

∴直線AB的斜率存在，由兩點式求得其方程為（y1+y2）y-y1y2=2px

然后按θ=和θ≠討論得出結論。

當θ=時，直線AB恒過定點（-2p，0），當θ≠時直線AB恒過定點-2p，。

二、利用曲線定義求解定值

圓上任意點到圓心的距離、橢圓（或雙曲線）上任意一點到兩焦點的距離之和（或差）均為定值，當要求的是定和、定差或兩點間距離的定值問題時不妨考慮動點的軌跡為相應的曲線。

例.已知常數(shù)a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且==，P為GE與OF的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由。（03年全國理工）

分析：要探求的是定和問題，不妨考慮求P點軌跡。

簡解：建立如圖坐標系，則A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）

設===k（0≤k≤1）易求得直線OF方程為：2ax+（2k-1）y=0①

直線GE的方程為：-a（2k-1）x+y-2a=0②

從①，②消去參數(shù)k，得點P（x，y）坐標滿足方程2a2x2+y2-2ay=0

整理得+=1然后再對a進行分類討論可得。

三、利用平幾知識求解定值

借助平面幾何知識，可以簡化繁雜的計算，使得解幾定值問題變得簡明直觀。

例.設點P是雙曲線-=1上除頂點外的任意一點，F(xiàn)1、F2分別為左右焦點，c為半焦距，三角形PF1F2內(nèi)切圓與邊F1F2切于點M，試判斷|F1M|，|F2M|之積是否為定值，若是定值，求出該值。(98年杭州高考模擬題改編)

分析：不妨設點P在雙曲線的右支，由公切線的性質和雙曲線的性質可知：|F1M|+|F2M|=2c，|F1M|-|F2M|=2a，所以|F1M|=c+a，|F2M|=c-a，所以|F1M|.|F2M|=c2-a2=b2

四、利用向量求解定值問題

當已知條件中出現(xiàn)了垂直、平行、點共線時，不妨考慮轉化成向量垂直或平行去求解。

例.過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個焦點的縱坐標為y1，y2，求證y1y2=-p2。(全日制普通高級中學教科書<數(shù)學>第二冊(上)習題8.5第7題)

分析：由題意可知焦點F（，0），設兩交點A、B的坐標分別為A（，y1），B（，y2），且y1≠y2，由與共線可得y1（-）=y2（-），化簡可得y1y2=-p2。

五、利用根與系數(shù)關系求解定值問題

圓與圓錐曲線的方程都是二元二次方程，消元后可化為一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)關系，是求解定值問題的有效途徑。

例.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F，作兩條互相垂直的直線l1、l2，分別交拋物線于A、B和C、D，求證：+為定值。

分析：因為兩直線與拋物線都有兩個交點，且互相垂直，故斜率存在，不妨設直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為-，直線l1的方程為：y=k（x-），代入拋物線方程消元得：

k2x2-（k2p+2p）x+=0，設A（x1，y1），B（x2，y2）是直線與拋物線的交點，由根與系數(shù)關系可得結論。

（作者單位：浙江省麗水學院附屬高級中學）