用函數的值域判斷方程的根的存在性

【摘要】在高中數學教學過程中，判斷方程在給定區間內根的存在性時，用得最多的方法就是把方程轉換成函數，然后利用函數的零點定理進行判定，或者通過作圖，觀察函數圖像與x軸是否有交點來判斷函數是否有零點，從而可以判斷原方程是否有解.本文將用另一種方法，即用函數值域的方法對方程在給定區間的根的存在性進行判斷.

【關鍵詞】值域;根;零點

一、引 言

在高中數學教學的過程中，通常遇到判定一個方程f(x)=0在給定區間(a，b)內的根或者函數y=f(x)的零點存在性問題.在高中階段解決這樣的問題，目前用得最多的方法是利用函數的零點定理判別法或者數形結合法.然而，對于現行高中教材(普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修1，人民教育出版社)給出的零點定理，只能判斷當函數滿足定理條件時，函數的零點是存在的，而當函數不滿足定理條件時，函數零點的存在性無法判斷.數形結合的方法，是通過觀察函數圖像與x軸(或者兩個函數的圖像)是否有交點來判定方程是否有解，這個方法很直觀.但問題在于，當方程f(x)=0中的函數y=f(x)比較復雜時(比如函數含有三次項以上的項或者含有對數項、指數項等)，不借助于計算機，y=f(x)的圖像不易畫出來，同時用手畫圖其準確度也難以把握，這樣判斷方程是否有解時，將難以得到正確的結論.為了解決以上問題，本文將利用函數的值域給中學生提供另一個方法來判定方程的根(或者函數的零點)的存在性問題.

在［1］中，楊君老師用值域的方法對存在根的方程中的參數進行求解.本文試圖從值域的角度探求解的存在性.

二、主要結果及其證明

定理1 假設函數y=f(x)的定義域為(a，b).又f(x)=h(x)-g(x)，令h(x)，g(x)在(a，b)內的值域分別為A和B，并且A∩B=，則函數y=f(x)在(a，b)內無零點，即方程f(x)=0在(a，b)內無實根.

證明 (用反證法)假設函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點，則存在x0∈(a，b)，使得f(x0)=0，即h(x0)-g(x0)=0，所以h(x0)=g(x0).因為h(x)，g(x)在(a，b)內的值域分別為A和B，而x0∈(a，b)，所以g(x0)∈B.又h(x0)=g(x0)，所以h(x0)∈A，h(x0)∈B，即h(x0)∈A∩B，這與A∩B=矛盾，故假設不成立，從而函數y=(x)在(a，b)內無零點，即方程f(x)=0在(a，b)內無實根.

注 (1)在本定理中，條件比零點定理要弱，這里沒有要求函數y=f(x)的圖像連續不斷.

(2)本定理中若把條件A∩B=改為A∩B≠，并不能保證函數y=f(x)在(a，b)內有零點.即本定理只能用來否定函數零點存在或否定方程有解.例如，h(x)=x2+1，g(x)=x，此時在R上h(x)的值域與g(x)的值域的交集非空，但方程h(x)-g(x)=0在R上無實根.

三、應用舉例

例1 求證:方程x3-6x2+9=0在區間(-1，1)內無實根.

分析 方程x3-6x2+9=0可化為x3+9-6x2=0.可以令h(x)=x3+9，g(x)=6x2.由定理1可知，要證明方程x3-6x2+9=0在區間(-1，1)內無實根，只要證明當x∈(-1，1)時，函數h(x)=x3+9的值域與g(x)=6x2的值域的交集為空集即可.

【參考文獻】

［1］楊君.從函數值域的角度分析求方程有解參數范圍問題的嘗試［J］.高中數理化(高一版)，2008(3).

［2］中華人民共和國教育部編訂.普通高中課程標準實驗教材《數學》（必修1）.北京：人民教育出版社（A版），2004.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文