歐式看跌期權(quán)對敲定價格的依賴關(guān)系

【摘要】期權(quán)定價依賴于敲定價格的變化，基于無套利原理，本文證明了歐式看跌期權(quán)價格是敲定價格的凸函數(shù).

【關(guān)鍵詞】歐式看跌期權(quán)；無套利原理

一、引 言

期權(quán)是指投資者擁有在特定時期以某種價格購買某種資產(chǎn)（包括投票）的權(quán)利.

期權(quán)價格是在期權(quán)合約中唯一一個隨著市場供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權(quán)交易的核心問題.期權(quán)可以執(zhí)行，也可以不執(zhí)行.僅由定義，我們可以看出期權(quán)是一種權(quán)力，而不用負(fù)擔(dān)任何義務(wù).但為了得到這種權(quán)利，就必須支付一定的費用，我們把這個費用稱為期權(quán)的價格.

一般而言，按執(zhí)行時間來看，期權(quán)市場上有兩種期權(quán)形式，一種是能在到期日執(zhí)行的歐式期權(quán)，一種是在到期日之前任何一天均能執(zhí)行的美式期權(quán).

按照合約中購入和銷售原生資產(chǎn)來劃分，一種是看漲期權(quán)，是按照確定價格有權(quán)購入一定數(shù)量和質(zhì)量的原生資產(chǎn)的期權(quán)，另一種是看跌期權(quán)，是按照確定價格有權(quán)出售一定數(shù)量和質(zhì)量的原生資產(chǎn)的期權(quán).

我們設(shè)p為期權(quán)的價格，K為期權(quán)合同中的敲定價格，T為期權(quán)合同中的確定日期，ST表示原生資產(chǎn)在到期日t=T時的價格，VT是在到期日期權(quán)的收益，即期權(quán)價值，PT為期權(quán)到期日期權(quán)持有人的總收益.

看漲期權(quán) 看跌期權(quán)

PT=（ST-K）+-pPT=(K-ST)+-p

期權(quán)是風(fēng)險管理的核心工具，對期權(quán)定價理論作出杰出貢獻(xiàn)的Scholes和Merton曾因此榮獲1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎.

無套利原理（arbitragefree principle），是期權(quán)定價理論的基礎(chǔ)原理.不承擔(dān)風(fēng)險就沒有瞬間獲取利益的機會.

金融市場上實施套利行為很便捷，一旦有套利機會，投資者就會很快實施套利而使得市場又回到無套利機會的均衡中.因此，這種套利的便捷性迫使金融市場的套利機會的存在總是暫時性的，于是，無套利均衡得以在對金融產(chǎn)品進(jìn)行定價的工作中得到廣泛的應(yīng)用.如果一個價格使得市場不存在無風(fēng)險套利機會，那么這個價格就是金融產(chǎn)品在市場的合理價格.這就是無套利定價原理，也叫做無風(fēng)險套利定價原理.

二、定理證明

期權(quán)定價不僅僅依賴于原生資產(chǎn)價格，還依賴于敲定價格的變化.基于無套利原理，它們之間存在著一些重要關(guān)系.本文中假設(shè)原生資產(chǎn)——股票是不支付紅利的.

定義1 一個自融資投資策略Φ稱為在［0，T］內(nèi)存在套利機會（arbitrage opportunity），如果存在t*∈［0，T)，使得當(dāng)Vt*(Φ)=0，有VT(Φ)≥0，且Prob{VT(Φ)>0}>0，這里Prob{w}表示事件w發(fā)生的概率（probability）.

定義2 若對于任意自融資投資策略Φ在任意時間段［t1，t2］［0，T］內(nèi)都不存在套利機會，那么稱市場在時段［0，T］內(nèi)是無套利的（arbitragefree）.

引理 若市場在時段［0，T］內(nèi)是無套利的，則對于任何兩個投資組合Φ1和Φ2，如果VT(Φ1)≥VT(Φ2)以及Prob{VT(Φ1)>VT(Φ2)}>0成立，那么對于任意t∈［0，T)，必有VT(Φ1)>VT(Φ2).

定理 歐式看跌期權(quán)的價格pt(K)是K的凸函數(shù)，即設(shè)K1

證明 在t時刻(t

Φ1=λp(K1)+(1-λ)p(K2)，Φ2=p(Kλ).

在期權(quán)到期日t=T，VT(Φ1)=λ(K1-ST)++(1-λ)#8226;(K2-ST)+，VT(Φ2)=(Kλ-ST)+.

分四種情況討論：

故由無套利原理及引理立得Vt(Φ1)>Vt(Φ2)，即定理得證.

三、總 結(jié)

本文假設(shè)市場是無套利的，利用無套利原理，證明了歐式看跌期權(quán)是敲定價格的凸函數(shù).

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