對楊輝三角形的一些新的研究

【摘要】楊輝三角形中蘊含著許多有趣的性質，許多重要的數學公式與組合數有關，本文就楊輝三角形的一些性質用數論中整除理論進行詳細證明.

【關鍵詞】排列；組合；楊輝三角形性質證明

一般的楊輝三角如下：

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

…………

第n-1行 1 C1n-1 C2n-1…Cr-1n-1Crn-1…Cn-2n-11

第n行 1C1nC2n…Cr-1n…Cr-1n…Cn-2nCn-1n1

其中Crn=n!r!(n-r)!.

請先看下面幾組數據：

C0n=1，C11=1均為奇數，其中1=21-1(楊輝三角形第1行).

C03=1，C13=3，C23=3，C33=1均為奇數，其中3=22-1（楊輝三角形第3行）.

C07=1，C17=7，C27=21，C37=35，C47=35，C57=21，C67=7，C77=1均為奇數，其中7=23-1(楊輝三角形第7行).

C015=1，C115=15，C215=105，C315=455，C415=1365，C315=3003，C615=5005，C715=6435，C815=6435……均為奇數，其中15=24-1（楊輝三角形第15行）.

……

猜想：若0≤r≤2n-1(r，n∈N*)，那么：Cr2n-1是否總是一個奇數？或者可以說使得Crm總為奇數（其中r，m，n∈N*)的m=2n-1嗎？

……

要研究這個問題，可以進行探索:

假設Cr2n-1為奇數，即(2n-1)!r!(2n-1-r)!為奇數.

即(2n-1)!分解為因式的積時，其中2的指數與r!(2n-1-r)!中2的指數相同.

我們知道，(2n-1)!中2的指數為2n-12+2n-122+…+2n-12n-1，r!中的指數為r2+r22+…+r2n-1，（2n-1-r）！中為2n-1-r2+2n-1-r22+…+2n-1-r2n-1.

∴r!(2n-1-r)!中2的指數為r2+2n-1-r2+r22+2n-1-r22+…+r2n-1+2n-1-r2n-1.

若假設成立，則需證r2m+2n-1-r2m=2n-12m(m

若證明了這一點，則我們的猜想就是正確的.

證明 設r=p2m+t（其中p，t∈Z，0≤t≤2m-1)，則1≤t+1≤2m.

則r2m+2n-1-r2m=p2m+t2m+2n-1-p2m-t2m.

又 0≤t≤2m-1，∴0≤t2m<1，

∴t2m=0，1≤t+1≤2m，

∴-2m≤-(t+1)≤-1，

∴-1≤-(t+1)2m≤0，∴-(t+1)2m=-1，

∴原式=p2m2m+t2m+2m(2n-m-p)2m+-(t+1)2m

=［p］+0+［2n-m-p］-1

=p+2n-m-p-1

=2n-m-1.

而2n-12m=2n2m+-12m=［2n-m］+(-1)=2n-m-1，

∴r2m+2n-1-r2m=2n-12m.

這就是說，形如Cr2n-1(r，n∈N*)(0≤r≤2n-1)的組合數的值均為奇數.而使得組合數值均為奇數的組合數的下標必須為2n-1（用此法易證）.

另外，對教材第三冊2.2中第2個問題，它說第5行中，除首尾兩項之外，均能被行數5整除，即5|C15，5|C25，5|C45，第3行、第7行也有類似的性質.

猜想是否對于形如Cnm是個整數，而Cnm=m!n!(m-n)!，∵n

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文