對一道求極限題的討論

【摘要】在高等數學學習過程中，模棱兩可的概念往往對某些問題造成影響.本文就一道考試過程中求極限題目，說明了在求極限過程中應該注意的幾點問題.

【關鍵詞】無窮小代換；定因子；洛必達法則

在某次考試過程中，有一道這樣的題：

例 求極限limx→0sinx+x2sin1x(1+cosx)ln(1+x).

三種錯誤解法：

解1 原式=limx→0sinx+x2sin1x2x=limx→0cosx+2xsin1x-cos1x2.

∴極限不存在.

注 解1是錯誤的.我們知道：洛必達法則不是萬能的，它只是一個充分條件.也就是說，當limf′(x)F′(x)不存在時（等于無窮大的情況除外），不能判斷limf(x)F(x)一定不存在.

解2 原式=limx→0sinx+02x=12.

注 解2是錯誤的.定因子運算指的是：當乘積中某一項因子極限存在且不為0時，我們可先計算化簡結果.

解3 原式=limx→0x+x2sin1x2x=12.

注 解3是錯誤的.在和差情況下，要慎用等價無窮小.如下例：

若limx→0sin6x+xf(x)x3=0，求limx→06+f(x)x2.此題若用等價無窮小會出現錯誤.

兩種正確解法：

解1 原式=12limx→0sinx+x2sin1xx定因子運算、等價無窮小替換

=12limx→0sinxx+limx→0x2sin1xx=12.極限運算法則

解2 由于所求極限為00型，而limx→0x2sin1xsinx=0.

∴原式=limx→0sinx(1+cosx)ln(1+x)（取大頭）

=12limx→0sinxln(1+x)=12.(等價無窮小替換、極限運算法則)

結束語

在高等數學學習過程中，一定要注重基本概念、基本理論、基本方法的學習與掌握，例如：求極限過程中的等價無窮小代換、洛必達法則，學生們用起來都非常順手，容易導致忽視條件出現錯誤.所以可在講此處內容時反其道而行之，著重強調什么情況下不能使用，達到掌握知識的目的.

【參考文獻】

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