關于隨機變量的Laplace變換

【摘要】隨著社會科學的不斷發展，社會競爭越來越激烈，隨之而來知識是每個人不可或缺的東西，每個人都為了生活得更好不斷地追求更高的東西，然而數學知識在人們生活中的運用也是越來越廣泛，俗話說：生活離不開數學，數學也離不開生活.在學習了隨機變量之后，我們發現隨機變量存在于生活的每一個角落，對我們的生活尤其有用.然而隨機變量自身也有n多種變換法則，今天我們就來探討其中的一種變換法則，也就是隨機變量的Laplace變換，Laplace變換也存在于學科的很多地方，比如解微積分方程、函數或者是概率密度，再者還有物理學科中的運用，今天讓我們共同來了解一下關于隨機變量的Laplace變換.

【關鍵詞】隨機變量；Laplace變換

一、隨機變量

隨機變量函數的分布是數理統計課程和概率論教學中的一個重點也是一個難點，所以這部分是最復雜也是容易使學生出錯的地方，而且相對計算量較大，因此我們要細心對待每一步計算過程，首先我們要搞清楚隨機變量的分類情況，隨機變量分為離散型隨機變量和連續型隨機變量兩種，根據不同的分類，我們用不同的公式方法進行解答，這樣會節省很多計算量.

1.離散型隨機變量

這類題型一般是先已知X的分布率，再求Y的分布率，對于離散型隨機變量函數的分布的求法一般是通過點對點的方法，這類題型學生會比較容易掌握，只要細心不把點與點的對應搞錯，再套上公式就可以了.對于離散型隨機變量X，Y，設X的狀態空間為S1={x1，x2，…，xi，…}，Y的狀態空間為S2={y1，y2，…，yi，…}，由于y∈S2，i=1，2，…，(Y=y)，(X=xi)∈F，故有P(Y=y)=∑iP(X=xi)(Y=y/X=xi).

2.連續型隨機變量函數

這類函數一般要求我們分步計算，一段一段求解，比離散型隨機變量的解法相對麻煩一些.對于連續型隨機變量的公式，我們一般設對于任意的D包含于R，則有公式P(X∈D)=∫+∞-∞P(X∈D/Y=y)dFY(y).

二、Laplace變換

Laplace變換又稱拉普拉斯變換，是求解常微分線性方程以及隨機變量函數常用的一種數學工具，是為簡化計算而建立的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換.如果運用拉普拉斯變換做一個實變量函數，并在復數域中做各種運算，再將運算結果做拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多.在求解線性微分方程時，拉普拉斯變換的這種運算方法格外有效，可以把微分方程化為容易求解的代數方程來解答，從而使計算簡化，這樣我們就減少了很多計算量.

1.Laplace變換的定義

設函數f(t)當t≥0時有定義，而且積分∫+∞0f(t)e-stdt（s是一個復參數），在s的某一域內收斂，則由此積分所確定的函數可寫成為：F(s)=∫+∞0f(t)e-stdt，我們稱此式為函數f(t)的Laplace變換式.記為F(s)=Ψ［f(t)］，F(s)稱為f(t)的Laplace變換（或稱為象函數）.

若F(s)稱為f(t)的Laplace變換，則稱f(t)稱為F(s)的Laplace逆變換（或稱為象原函數）.

2.Laplace變換的應用

（1）利用拉普拉斯變換的卷積性質求解概率密度

卷積定義 設f1(t)，f2(t)在（-∞，+∞）上有定義，若廣義積分∫+∞-∞f1(t)f2(t-τ)dτ收斂，則稱此積分為f1(t)，f2(t)在（-∞，+∞）上的卷積，記為f1(t)*f2(t).

引理 設隨機變量X與Y相互獨立，其概率密度為fX(x)，fY(y)，則隨機變量Z=X+Y的概率密度為fZ(z)=f1(t)*f2(t)=∫+∞-∞f1(t)f2(t-τ)dτ.

（2）利用拉普拉斯變換解微分方程的初值問題

應用拉普拉斯變換求解常系數微分方程，其求解方法大致為以下三個步驟:

①對原微分方程兩端取拉普拉斯變換，同時結合其初始條件，將原常系數微分方程通過拉普拉斯變換轉化為關于象函數的代數方程；

②求解象函數滿足的代數方程，得到象函數；

③對求得的象函數做拉氏逆變換，求得原微分方程的解.

三、隨機變量的Laplace變換

強偏差又稱小偏差定理，它是借助于似然比而引進的一種度量，進而建立的一種新型定理.在1989年第一次用分析法得到的一類隨機變量序列的強偏差定理，之后又把分析法結合母函數和矩母函數的方法研究了離散型隨機變量，從而得到強偏差定理，在證明中我們提出了將Laplace變換這個工具應用到極限研究的一種途徑.主要有以下幾個定義及定理：

定義1 設{dn(w)，n≥1}是一列正值隨機變量，滿足條件dn(w)↑∞a，e，rn(w).由上定義，令r(w)=limsuprn(w)/dn(w)，dn(w)稱為關于{dn(w)，n≥1}的極限相對對數似然比，于是dn(w)就是關于n的極限相對對數的似然比.

定義2 設xk的條件Laplace變換為

fk(s；x1，…，xk-1)=E(e-sXk/x1，…，Xk-1=xk-1)=∫∞0e-sxkfk(xk/x1，…，xk-1)dxk.

定義3 連續型隨機變量xk的條件期望為

E（xk/X1=x1，…，Xk-1=xk-1)=∫∞0xkfk(xk/x1，…，xk-1)dxk，記為mk.

總之，在隨機變量中Laplace變換也可以把復雜的函數運算化為簡單的代數運算，拉普拉斯變換是由復變函數積分引導出的一個非常重要的結論，它在應用數學中占有很重要的地位.

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