通過二次函數確立函數學習的思維方式

函數作為新課程高中數學的四條主線之一，貫穿于整個高中數學的始終.而二次函數以其特有的豐富性質與其他基本初等函數自由組合形成復合函數，靈活自如地出現在高中數學的舞臺上，用其靈活多姿的身份在函數家族中貫穿始終，成為高考中舉足輕重的九種基本函數之一，其應用之廣泛基本達到相關考點的四分之一，是令所有高考師生不可低估的，是具有初中知識身份卻在高中不斷逐層豐富的基本初等函數.不斷豐富二次函數過程中的思維方式，其實就是不斷豐富函數的思維方式.下面就以學習二次函數所需的思維方式來確立函數學習的思維方式.

一、依據個性確立解決問題的原則

筆者通過多年教學經驗總結出，所有的二次函數問題都要注意三看原則：“一看開口，二看對稱軸，三看區間”.即看單調性、極值點、定義域.定義域是函數的“物質基礎”，單調性是函數的“靈魂”，極值是它們的“自然產物”.利用二次函數特有的開口和對稱性兩者結合就可看出二次函數的單調性.三看原則大體可以得到二次函數圖像的趨勢，很自然地樹立了數形結合的思想，利用數形結合很容易得出函數性狀，為解決問題打下了重要的伏筆.

例1 求f(x)=x2-2x-1在區間［t，t+1］上的最小值g(t).

分析 這是一道考查二次函數基本性質的常規題，按照三看原則，把握圖像，可以又快又好地完成.

解 二次函數f(x)=x2-2x-1的開口向上且對稱軸為x=1.

當對稱軸在區間［t，t+1］之間，即1∈［t，t+1］，

即0≤t≤1時，

f(x)min=f(1)=-2，∴g(t)=-2.

當對稱軸在區間左邊，即t＞1時，g(t)=f(t)=t2-2t-1.

當對稱軸在區間右邊，即t＜0時，g(t)=f(t+1)=t2-2.

∴g(t)=t2-2，(t<0)，-2，(0≤t≤1)，t2-2t-1，(t>1).

點評 利用基本原則把握問題，邏輯推理清晰，步驟明朗，分類不重不漏.

二、依據二次函數的軸對稱的特性確立解決問題的方法

利用軸對稱性是二次函數達到化繁為簡的重要通徑.

具體內容為：距離對稱軸相等的點，其函數值也相等；開口向上，距離對稱軸遠的點函數值大；開口向下，距離對稱軸遠的點函數值小.

在指定的定義域區間［p，q］上，二次函數y=ax2+bx+c(a>0)，f(x)max=max{f(p)，f(q)}，即最大值是f(p)，f(q)中最大的一個值.這取決于誰離對稱軸更遠.

例2 二次函數y=f(x)的二次項為正，并且對于任意的x恒有f(2+x)=f(2-x)，若f(1-2x2)

分析 由二次項為正，則開口向上，由f(2+x)=f(2-x)知對稱軸為x=2，由f(1-2x2)

點評 利用基本解題原則，把握問題貫徹實施解題步驟，利用對稱性轉化問題，化無解析式為有解析式，化分類為不分類，降低難點.

由此引申函數對稱性問題，則有：距離對稱軸相等的點，其函數值也相等；左減右增形其開口向上，距離對稱軸遠的點函數值大；左增右減形其開口向下，距離對稱軸遠的點函數值小.仿照這種思維方式解決以下函數問題，都可達到很好的轉化效果.

三、二次函數與函數、方程、不等式思想

作為最基本的冪函數，二次函數不但可以作為代表來研究函數的性質，還可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，確立基本的數學思想體系.可以考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力.

函數不但是高中數學教學的核心內容之一，也是整個高中數學的體系基礎.這在過去的教材中如此，在現行的新課程中亦如此.通過二次函數在高中數學中不斷豐富和完善，與其他內容的橫向聯系以及多次接觸，螺旋式上升學習的過程，給我們很大的啟示.借用二次函數學習的思維方式，可不斷幫助和完善整個函數學習的思維方式.相信在新課程的引導下，我們勢必會順應潮流的發展趨勢，摒棄過于技巧化的訓練，自然地達到理解數學的基本思想和實質的最終目的.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文