積分計算一題多解舉例

【摘要】通過積分一題多解舉例，旨在于進一步幫助學生熟練掌握積分計算的幾種方法，提高學生的計算能力.

【關鍵詞】積分計算；一題多解；舉例

積分是一元微積分學中一個重要基本部分，是要求學生必須掌握的內容.積分計算常用的方法有直接積分法、第一換元積分法(湊微分法)、第二換元積分法和分部積分法，而有些特殊定積分還可根據定積分的幾何意義進行求解(稱為“定積分幾何意義法”).對有些積分，可用多種方法計算.本文通過若干積分一題多解舉例，幫助學生熟練掌握積分計算的幾種方法，進一步提高學生的計算能力.

例1 求不定積分∫e2xdx.

分析 如果聯想利用公式∫exdx=ex+C，則用湊微分法；如果聯想利用公式∫axdx=axlna+C(a>0)，則用直接積分法計算.

解法1 用湊微分法：

∫e2xdx=12∫e2xd(2x)u=2x12∫eudu

=12eu+C=12e2x+C.

解法2 用直接積分法：

∫e2xdx=∫(e2)xdx=(e2)xln(e2)+C=12e2x+C.

例2 求不定積分∫x1-x2dx.

分析 因被積表達式中出現xdx，1-x2，可湊合微分xdx=-12d(1-x2)，可用湊微分法;如果考慮到被積函數中含有二次根式1-x2，欲脫去根號，可用三角代換，即第二換元積分法.

解法1 用湊微分法：

∫x1-x2dx=-12∫d(1-x2)1-x2u=1-x2-12∫1udu=-u+C=-1-x2+C.

解法2 第二換元積分法：

換元，令x=sinθ-π2<θ<π2，則dx=cosθdθ，且

1-x2=1-sin2θ=cos2θ=|cosθ|=cosθ.

故∫x1-x2dx=∫sinθdθ=-cosθ+C

=-1-sin2θ+C=-1-x2+C.

點評 比較本例以上兩種解法可以看到，解法1湊微分法較簡，解法2第二換元積分法運算較繁難，因此，在計算積分時首先考慮用直接積分法和湊微分法，在這兩種方法均無法解決時再考慮使用其他積分法求解.

例3 求定積分∫a0a2-x2dx(a>0).

分析 該定積分既不能用直接積分法，也無法湊微分，也不屬于分部積分的積分類型，因此可考慮用第二換元積分法，又因被積函數中含有二次根式a2-x2，可考慮脫去根號，故可作三角換元法求解.此外，該定積分特殊，也可用“定積分幾何意義法”求解.

解法1 (定積分換元法)換元，令x=asinθ，則dx=acosθdθ，且有

解法2 (定積分幾何意義法)由x=0，x=a，y=0，y=a2-x2圍成的圖形是圓心在原點、半徑是a的四分之一圓域(如圖所示).

根據定積分的幾何意義，得

∫a0a2-x2dx=14πa2.

以上積分一題多解例題，是常遇見的積分類型.通過一題多解，使學生熟練掌握幾種積分方法，從而提高解題速度和計算能力.

【參考文獻】

［1］裴雪重.高等數學（一）學習指導［M］.北京:中國經濟出版社，2001:248-251.

［2］侯風波.高等數學［M］.北京:高等教育出版社，2005:93-99.

［3］汪荷仙.高等數學解題方法指導(上卷)［M］.成都：成都科技大學出版社，1995:347-371.

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