例談例題教學

一道典型的例題就是一道營養豐富的“滋補大餐”，我們應該細細咀嚼、美美品味、縱聯橫拓，挖掘問題的內涵與外延（當然要遵循教學大綱，準確把握其度），充分地消化吸收，使其教育教學功能發揮到淋漓盡致！絕不能就題論題，造成了資源的浪費與教學效果的低下.

下面從一道不等式說起，僅作引玉之磚.

例 求證：|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|.

證法1 比較法.

|a+b|1+|a+b|-|a|+|b|1+|a|+|b|

=|a+b|+|a+b|(|a|+|b|)-|a|-|b|-|a+b|(|a|+|b|)(1+|a+b|)(1+|a|+|b|)

=|a+b|-(|a|+|b|)(1+|a+b|)(1+|a|+|b|).

∵|a+b|≤|a|+|b|，1+|a+b|>0，1+|a|+|b|>0，

∴|a+b|-(|a|+|b|)(1+|a+b|)(1+|a|+|b|)≤0，∴原式成立.

同樣作商也可以證明.

證法2 分析法.

要證|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|，由于（1+|a+b|）（1+|a|+|b|）≠0，故只需證|a+b|（1+|a|+|b|）≤（|a|+|b|）（1+|a+b|），即|a+b|+|a+b|（|a|+|b|）≤|a|+|b|+|a+b|（|a|+|b|）.只需證|a+b|≤|a|+|b|，此式顯然成立，∴原式得證.

證法3 綜合法.

（1）當|a+b|=0時，原式顯然成立；

（2）當|a+b|≠0時，∵0<|a+b|≤|a|+|b|，∴|a+b|1+|a+b|=11+1|a+b|≤11+1|a|+|b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|.

綜上（1）（2），原式得證.

證法4 構造法.

構造函數f(x)=x1+x，易證該函數在［0，+∞)上是增函數.

而0<|a+b|≤|a|+|b|，∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)，

即|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|.

證法5 利用已知不等式.

利用已知不等式：若a>b>0，m≥0，則ba≤b+ma+m.

∵|a|+|b|≥|a+b|，可設|a|+|b|-|a+b|=m(m≥0).

又 1+|a+b|>|a+b|>0，

|a+b|1+|a+b|≤|a+b|+m1+|a+b|+m=|a+b|+(|a|+|b|-|a+b|)1+|a+b|+(|a|+|b|-|a+b|)=|a|+|b|1+|a|+|b|.

以上證法既體現了比較法、分析法、綜合法的基礎性，又展示了構造法及利用已知不等式的巧妙性，其中的一條“筋”就是重要的絕對值不等式|a+b|≤|a|+|b|.至此該題的證法已經足夠，那么我們能否作進一步的變式與推廣呢？

變式1 求證：|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

事實上，原不等式的右邊|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

再由原不等式|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|，即得|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

變式2 求證：|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|b|+|b|1+|a|.

證法同變式1的證法.

以上變式1，2說明|a+b|1+|a+b|不僅可以放大到|a|1+|a|+|b|1+|b|，也可以放大到|a|1+|b|+|b|1+|a|，那么我們很自然地想到|a|1+|a|+|b|1+|b|與|a|1+|b|+|b|1+|a|有無確定的大小關系呢?

事實上，|a|1+|a|+|b|1+|b|-|a|1+|b|+|b|1+|a|

=|a|-|b|1+|a|+|b|-|a|1+|b|

=(|a|-|b|)|b|-|a|(1+|a|)(1+|b|)=-(|a|-|b|)21+|a|+|b|≤0，

故|a|1+|a|+|b|1+|b|≤|a|1+|b|+|b|1+|a|.

于是變式1，2可以連接傳遞起來得到：

變式3 求證：|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|≤|a|1+|b|+|b|1+|a|.

變式1，2，3都是兩個實數a，b的情況，能否推廣到a，b，c三個實數呢?

變式4 求證：|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|1+|a|+|b|+|c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.

原題的五種證法均可以證明上式.

既然此不等式對兩個實數、三個實數都成立，能否推廣到n個實數的更一般情況呢？

變式5 求證：|x1+x2+…+xn|1+|x1+x2+…+xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn|1+|x1|+|x2|+…+|xn|≤|x1|1+|x1|+|x2|1+|x2|+…+|xn|1+|xn|.

一題多解培養了學生的發散性思維，體現思維的廣度；一題多變培養了學生的探索性思維，體現思維的深度.讓學生解一題懂一串，學一塊會一片，牽一發而動全身.這樣的例題教學才能達到以點帶面、以少勝多的功效.

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