用《余商法》的公式證明費爾馬大定理

【摘要】1.任何兩個大于2的連續自然數的和等于第3個連續自然數，a+b=c(2＜a＜∞），此式沒有正整數解.2.趨近于無窮大時的數是素數2.

論點 任何兩個大于2的連續自然數的和等于第3個連續自然數，a-b=c(2＜a＜∞），此式沒有正整數解.即“費爾馬大定理”.

論據 引用《余商法》的奇數公式、偶數公式來證明.《余商法》發表在《中國科教創新導刊》2009第30期總542期2009-10-21第60頁.作者：王元和.

要證明任何兩個大于2的連續自然數的和等于第3個連續自然數，a-b=c(2＜a＜∞），此式沒有正整數解.

1.任何兩個大于2的連續自然數的和等于第3個連續自然數，a-b=c(2＜a＜∞），此式沒有正整數解

用《余商法》得到奇數的通項公式.方法是：用已知的自然數做除數，其可能有的余數做被除數進行除法運算，把所得的商的小數點后第一位數取為整數相加，得到數的前（n-1）商位和，再分別得出奇數或者偶數公式.算出奇數的前（n-1）商位和：（式中［x］z為取為整數.請看《取為整數可行》一文.）

Sn=1anz+2anz+3anz+…+an-3anz+an-2anz+an-1anz，式中an為奇數.

把上式整理，得

Sn=1anz+an-1anz+2anz+an-2anz+3anz+an-3anz+…，

Sn=92(an-1).

移項整理得奇數通項公式：an=29Sn+1.

算出偶數的前（n-1）商位和：

Sn=1anz+2anz+3anz+…+an2anz+…+an-3anz+an-2anz+an-1anz.

把上式整理，得

Sn=1anz+an-1anz+2anz+an-2anz+3anz+an-3anz+…+an2anz.

偶數沒有固定的節數，如果用商位和計算會有重復出現.所以每計算1次只能取1個小數點后第1位取為整數相加.

因為an2an=12=0.5，取為整數，得5.

所以Sn=92(an-2)+5.

移項整理得偶數通項公式：an=29(Sn-5)+2.

任何兩個大于2的連續自然數相加只有兩種可能：（1）1個奇數加1個偶數等于一個偶數：（2）1個偶數加1個奇數等于一個奇數.

（1）1個奇數加1個偶數等于一個奇數：a+b=c.因為a，b，c大于2小于無窮大的連續自然數，如果a+b=c中a是奇數，那么b肯定是偶數，c肯定是奇數.（自然數排列順序不空缺）

a=29Sa+1，b=29(Sb-5)+2，

a+b=29Sa+1+29(Sb-5)+2，

a+b=29［Sa+(Sb-5)］+3.

因為Sa和(Sb-5)都是9的正整數倍數，所以當Sa=1×9，(Sb-5)=1×9時，a+b=49×9+3=7，a+b=7.

此時a=3，b=4.

而c=29Sc+1中Sc=2×9，c=29×2×9+1=5.

a+b≠c，a+b和c，a為奇數時始終相差2.(a+b)-c=2，a+b=c無正整數解.

大于2的自然數中，a，b，c都是連續自然數，a=29Sb+1，b=29(Sa-5)+2，a=29Sb+1是a，b，c大于2小于無窮大的連續自然數的通項公式，所以a+b=c無正整數解.

（2）1個偶數加1個奇數也等于一個奇數：a+b=c.因為a，b，c大于2的連續自然數，如果a+b=c中a是偶數，那么b肯定是奇數，c肯定是偶數.（自然數排列順序不空缺）

a=29(Sa-5)+2，b=29Sb+1，

a+b=29(Sa-5)+2+29Sb+1=29(Sa-5)+29Sb+3.

因為Sa和(Sb-5)都是9的正整數倍數，所以當(Sa-5)=1×9，Sb=2×9時，a+b=2+4+3=9.

此時a=4，b=5.

而c=29(Sc-5)+2，此時的(Sc-5)=2×9，c=6.

a+b≠c，a+b和c，a為偶數時始終相差3.(a+b)-c=3，a+b=c無正整數解.

在1+2=3中，因為1的可能有的余數是0，所以等式1+2=3在余商法中不能用.

大于2的自然數中，a，b，c都是連續自然數，a=29(Sa-5)+2，b=29Sb+1，c=29(Sc-5)+2是a，b，c大于2小于無窮大的連續自然數的通項公式，所以a+b=c無正整數解.

2.趨近于無窮大的奇數和偶數

當n→∞時有下列可能：

（1）n是2，4，6，8結尾的偶數.

2，4，6，8結尾的偶數大到趨近于∞時可除盡素數2；

算出偶數的前（n-1）商位和：

Sn=1anz+2anz+3anz+…+an2anz+…+an-3anz+an-2anz+an-1anz.

把上式整理，得

Sn=1anz+an-1anz9+2anz+an-2anz9+3anz+an-3anz9+…+an2anz5，

SA=92(an-2)+5.

Ax→∞時，

Sn=1anz0+an-1anz10+2anz沒有+an-2anz沒有+3anz沒有+an-3anz沒有+…+an2anz沒有，

SA=102循環后的余數商位和為0.

Ax→2時，

只有1節，共有2項.2，4，6，8結尾的偶數大到趨近于∞時趨近于可除盡素數2.

（2）n是1，3，7，9結尾的奇數.

1，3，7，9結尾的奇數大到趨近于∞時可除盡素數2；

還未趨近于∞共有(Ax-1)項.Ax的商位級數和為：

Sn=1anz+2anz+3anz+…+an-3anz+an-2anz+an-1anz.

整理后，得

SA=1aAz+aA-1aAz9+2aAz+aA-2aAz9+3aAz+aA-3aAz9+……，

取為整數：

有an-12個9.

得出的公式是素數的前(n-1)項商位和Sn=92(an-1)循環后的余數商位和不在內.

循環后的余數商位和取為整數是：

Sy=10(Ax-10)2-9(Ax-10)2=12(Ax-10).

Ax→∞時，

SA=1aAz0+aA-1aAz10+2aAz+aA-2aAz沒有+3aAz+aA-3aAz沒有+…只有2項，

SA=102循環后的余數商位和為0.

Ax→2時，

1，3，7，9結尾的奇數大到趨近于∞時可除盡素數2.

（3）n是0結尾的偶數.

0結尾的偶數大到趨近于∞時可除盡素數2；

算出偶數的前（n-1）商位和：

Sn=1anz+2anz+3anz+…+an2anz+…+an-3anz+an-2anz+an-1anz+1a10z+2a10z+3a10z+…+9a10z+8a10z+7a10z.

把上式整理，得

Sn=1anz+an-1anz9+2anz+an-2anz9+3anz+an-3anz9+…+an2anz5+1a10z+9a10z10+2a10z+8a10z10+3a10z+7a10z10+…102(10-1)，

SA=92(an-10)+45.

Ax→∞時，

Sn=1anz0+an-1anz10+2anz沒有+an-2anz沒有+3anz沒有+an-3anz沒有+…+an2anz沒有+1a10z+9a10z沒有+2a10z+8a10z沒有+3a10z+7a10z沒有+…沒有，

SA=102循環后的余數商位和為0.

Ax→2時，

只有1節，共有2項.0結尾的偶數大到趨近于∞時可除盡素數2.

（4）n是5結尾的奇數.

5結尾的奇數大到趨近于∞時可除盡素數2；

算出偶數的前（n-1）商位和：

Sn=1anz+2anz+3anz+…+an-3anz+an-2anz+an-1anz+1a5z+2a5z+3a5z+4a5z.

把上式整理，得

Sn=1anz+an-1anz9+2anz+an-2anz9+3anz+an-3anz9+…+1a5z+2a5z10+3a5z+4a5z10  102(5-1)，

SA=92(an-5)+20.

Ax→∞時，

Sn=1anz0+an-1anz10+2anz+an-2anz沒有+3anz+an-3anz沒有+…+1a5z+2a5z沒有+3a5z+4a5z沒有，

SA=102循環后的余數商位和為0.

Ax→2時，

只有1節，共有2項.5結尾的奇數大到趨近于∞時可除盡素數2.

3.用公式證明

尾數是1，3，7，9的奇數趨近于∞.

an=29Sn+1→A=210SA+1，

SA=92(A-1)加上余數部分的商位和：12(A-1).

SA=92(A-1)+12(A-1)，SA=102(A-1)，

A=210SA+1.

因為SA=102，A=1+1=2.

尾數是1，3，7，9的奇數趨近于∞數趨近于2.

尾數是5的奇數趨近于∞.

A=29SA+1+210S5+1→A=210SA+1，

SA=92(A-1)+102(a5-1)加上余數部分的商位和：12(A-1).

SA=102(A-1).

因為SA=102，A=1+1=2.

尾數是5的奇數趨近于∞趨近于2.

尾數是2，4，6，8的偶數趨近于∞.

A=29SA+1+210S5+1→A=210SA+1，

SA=92(A-1)+102(a2-1)加上余數部分的商位和：12(A-1).

SA=102(A-1)，A=210SA+1.

因為SA=102，A=1+1=2.

尾數是2，4，6，8的偶數趨近于∞數趨近于2.

尾數是0的偶數趨近于∞.

A=29SA+1+210S10+1→A=210SA+1，

SA=92(A-1)+102(a10-1)加上余數部分的商位和：12(A-1).

SA=102(A-1)，A=210SA+1.

因為SA=102，A=1+1=2.

尾數是0的偶數趨近于∞趨近于2.

奇數趨近于∞趨近于2.偶數趨近于∞時也趨近于2.所以a+b=c無正整數解.

注：計算素數時，可以每次只取小數點后第1位數相加，其中包括0，也可以計算到循環取各節商位和相加.

奇數數大到趨近于∞時可除盡素數2；大偶數大到趨近于∞時可除盡素數2；大于2的自然數中，（2→∞）a，b，c都是連續自然數，那么a+b=c無正整數解.費爾馬大定理得證.

【參考文獻】

［1］王元和.余商法.中國科教創新導刊，2009，542（30）：60.

［2］王元和.素數的分類.中國科教創新導刊，2009（32）：90.

［3］王元和.7千萬以內帶有商位和節數的素數表.王元和的博客網址：http://blog.163.com/p-n-wang/.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文