一道幾何證明題的教學引發的思考

筆者在《中學數學教學參考》2011年第5期（中旬）看到一篇文章，上面所談到的，在我的教學過程中也相似的出現過.現先將原文作者所講述的，結合本人實際把它展現給大家.

圖 1

命題 如圖1，AB=AC，CF⊥AB，垂足為F，BE⊥AC，垂足為E，CF與BE交于H.求證：AH平分∠BAC.

教學過程先后在兩個班進行.

第一個班，采取分析法啟發學生尋找證題思路.

教師：要證明AH平分∠BAC，即要證明∠1=∠2，那么要證∠1=∠2，只要證什么？

學生：只要證△AHC≌△AHB.

教師：能證嗎？說說你的想法.

學生：已知AC=HB，AH=AH，但是，我們還不知道CH=HB是否成立.雖然能夠知道∠5=∠6，但是，并不滿足SAS，ASA，SSS，故不能證明△AHC≌△AHB.

教師：此路不通！有其他辦法嗎？

學生：有！要證∠1=∠2，只要證△AHE≌△AHF.

教師：好，試試看.

學生：因為AH=AH，∠3=∠4=90°，AE=AF，所以△AHE≌△AHF.

教師：AE=AF是已知條件，還是推證得到的？

學生：推證得到的，因為在Rt△AFC與Rt△AEB中，AC=AB，∠A=∠A，所以Rt△AFC≌Rt△AEB，從而得到AE=AF.

教師：一邊提問，一邊板書用分析法尋找證明思路的過程：

∠1=∠2AH=AH，∠3=∠4，AE=AFRt△AFC≌Rt△AEB，AC=AB，∠A=∠A.

然后，請學生在黑板上寫出證明過程.

教學任務比較順利地完成了，但下課后我在想，“此路不通”這句話是否不妥？真的此路不通嗎？我認真分析了一下，很快找到了解答.其實這就是一個關于兩個三角形滿足SSA不一定全等的例子，成立與否得分條件來說明.而本題恰恰是成立的條件.

在第二個班教學時，當學生提出要證明△AHC≌△AHB，我不是匆忙地用“此路不通”四個字關閉學生的思路，而是鼓勵學生大膽地進行探索.

教師：到底能不能證明△AHC≌△AHB？

（眾生沉思）

教師：現在AC=AB，AH=AH，∠5=∠6（∠5=90°-∠A，∠6=90°-∠A），能否推出△AHC≌△AHB呢？

一般地說，如果已知兩個三角形的兩條對應邊分別相等，并且其中一條對應邊的對角相等，能否得出這兩個三角形全等的結論？

（眾生感到困惑）

學生1：不能得到！因為如果兩個三角形的兩條對應邊分別相等，且其中一條對應邊的對角均為銳角且相等，那么這兩個三角形可能不全等.

教師：為什么？

圖 2

學生1：我們可以利用作圖，畫出如圖2的情況.

在△AOB和△AOC中，OA=OA，AB=AC，∠O=∠O，顯然△AOB和△AOC不全等.（我心中一喜，不錯，學生能舉出反例來.在數學研究中，對于幾何問題的不確定性，能找到恰當的數學模型是解決問題的一種手段.）

教師：很不錯，想象豐富.那么，這是不是說明△AHC≌△AHB就無法證明了呢？

學生2：（沉思了一會兒）我猜想，如果兩個三角形的兩條對應邊分別相等，其中一條對應邊的對角相等且為銳角，且另一條對應邊所對的角同為鈍角（或同為銳角），則此兩個三角形全等.

教師：學生2的這一猜想有道理嗎？如果能證明這一猜想，那么△AHC≌△AHB能證得嗎？（教師邊問邊將學生2的猜想板書出來）

學生3：（非常驚喜）學生2的猜想有道理！因為只要猜想成立，那么由原題中∠AHC>∠AFH=90°，∠AHB>∠AEH=90°，∠5=∠6，AH=AH，AC=AB，可得△AHC≌△AHB.

教師：那么，怎樣證明上面的猜想呢？現在，我們在黑板上畫出兩個鈍角三角形△ABC與△A′B′C′（如圖3）.

圖 3

已知：在△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C′，AB=A′B′，∠C=∠C′（小于90°），∠B=∠B′（大于90°），求證：△ABC≌△A′B′C′.

學生4：延長CB與C′B′，并分別由A與A′向其作垂線，垂足分別為D與D′，即可證明上述猜想（過程這里從略）.

教師：對于這一猜想，當另一組對應邊所對的角同為銳角時，怎樣證明兩個三角形全等？請同學課后思考并完成.

教師：我們還有別的證法嗎？

學生：有.

（與第一節課的證法想同）

本節課，由于在分析、證明猜想時花時間較多，例題的容量比第一節課要少.但是，教學效果是明顯的.

有教育家曾說過：教師不替學生說學生自己能說的話，不替學生做學生自己能做的事，不輕易扼殺學生求學、求索的天性；學生能講明白的知識盡可能讓學生自己講，學生伸手可及的果子，教師不要幫摘或阻止他們去摘.教師要多為學生創設幾個“跳一跳，摘果子”的平臺.這是新課改的理念，體現學生學習的主體性和教師教學的主導性.

1.新課標要求我們培養具有創新精神的人才.教師在教學過程中應注重培養學生的創新意識，而培養創新意識的必要條件是提高學生探究能力，因為只有具備較高探究能力的學生才能夠從已知的問題出發通過比較、分析進行科學的猜想、歸納，使問題在原有的基礎上有所發現，有所發明，有所創新.

第一節課雖然采用分析法引導學生探尋證明思路，對學生的思維具有一定的啟發，但用“此路不通”四個字扼殺了學生求學、求索的天性.由于有了對問題的進一步把握，第二節課采用了探究式的教學方式，讓學生的思路充分放開，在分析探尋新的證明思路中，作出猜想，作出創造，發現并證明了一條判別兩個三角形全等的新定理.這樣提高了學生的邏輯思維能力，培養了學生的理性思維和創新的精神.

2.教學反思是一種品質，正如有些學者認為“有效教學既是一種技術或策略，同時有效教學也是一種觀念，它要求每一個教師擁有超越一般的、共同的技術，不斷地反思自己的日常教學行為”.因此，在教學過程中，需要教師具備一種反思的意識和能力.

有的教師幾十年書教不好，不是水平和能力問題，而是他只用一種教學方法重復了幾十遍.有的教師只教了兩三年就教得很好，這是因為，當他用第一種方法教效果不好或授課方法不妥時，他首先想到的是反思自己的教學過程，摸索不同的教學方法，找到有效的教學方法.

筆者在第一節課后立即意識到“此路不通”這四個字欠妥，認真分析后發現，問題出現在教師身上，是沒有把教材讀透.在全等三角形證明的判定定理中，確實沒有SSA這個定理，是因為滿足SSA的兩個三角形不一定全等，得分類討論，而本題恰好是能全等的一類.同時在學生出現要證明△AHC≌△AHB這一節外生枝問題時，教師沒有意識此處該引導學生探索，用“此路不通”予以搪塞，阻礙了學生思維的自然發展，使學生失去了一次可以積極探索的機會.第二節課，由于注意到了這一點，課堂教學中出現多處精彩的畫面.

3.充分發掘教材中的知識點和典型例題中所蘊含的數學思想和方法，依靠數學思想指導數學思維，盡量暴露思維的全過程，展示數學方法的運用，大膽探索，會一題明一路，以少勝多.

比如，在勾股定理的逆定理的教學中，教師就應該深刻把握好“構造法”這一數學思想方法.引導學生通過構造一個直角三角形這一特定的數學對象，從而解決問題，證明定理.

又比如說，已知f(x)=1+x2，a，b為相異實數，求證：|f(a)-f(b)|<|a-b|這一問題.筆者認為，我們可以從以下幾個方面去深掘問題的背景，從而培養學生的創新探究能力.

（1）從不等式背景入手

證明 |f(a)-f(b)|=|1+a2-1+b2|

=|a-b||a+b|1+a2+1+b2

<|a-b||a+b||a|+|b|<|a-b||a+b||a+b|=|a-b|.

（2）從距離背景入手（其根號的形式可視為距離背景）

證明 表達式1+x2=(x-0)2+(1-0)2可視為P（x，1）到O（0，0）的距離，當a≠b時，設P1(a，1)，P2(b，1)，則||OP1|-|OP2||<|P1P2||1+a2-1+b2|<|a-b|.

（3）從復數背景入手（由復數的模可聯想到該問題的復數背景）

證明 設復數z1=1+ai，z2=1+bi（a，b∈R），a≠b，則|z1|=1+a2，|z2|=1+b2，|z1-z2|=|a-b|，因為|z1|+|z2|>|z1-z2|，故原不等式成立.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文