數學活動在試題中的呈現

《數學課程標準》認為：數學本身就是一個過程，只有通過大量的數學活動，學生才能形成對數學的全面認識.對“實踐與綜合（課題學習）”板塊的考查，就是數學活動在試題中的呈現，此類試題注重對實際問題的解決能力和數學學習能力的考查，突出數學研究方法與數學思想價值的體現，更能體現對數學活動經驗的了解，試題具有綜合性、應用性、活動性、探究性、開放性.數學活動在試題中一般有如下幾種呈現方式：

一、設置多層次的問題，“暴露”數學活動過程

例1 在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）.延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1……按這樣的規律進行下去，第2010個正方形的面積為（）.

A.5322009

B.5942010

C.5942008

D.5324018

簡解 由題意知，OA＝1，OD＝2，DA＝5，∴AB＝AD＝5，利用互余關系證得△DOA∽△ABA1，∴DOAB=OABA1，∴BA1=12AB=125，∴A1B1=A1C=32AB=352.同理，A2B2=32A1B1=3225，一般地，AnBn=32n-15，第2010個正方形的面積為(A2009B2009)2=5324018.故選D.

點評 本題表面是正方形面積的規律探究，實質是正方形邊長的規律探究.本題是先應用了勾股定理及相似三角形知識求出幾種特殊正方形的邊長，然后歸納出一般正方形的邊長規律，最后得出正方形的面積規律使問題得以解決.

二、遷移活動過程中的思想方法，間接考查學生的數學活動過程

例2 如圖，△ABC的面積為1，分別取AC，BC兩邊的中點A1，B1，則四邊形A1ABB1的面積為34，再分別取A1C，B1C的中點A2，B2，A2C，B2C的中點A3，B3，依次取下去……利用這一圖形，能直觀地計算出34＋342＋343＋…＋34n＝.

簡解 觀察圖形分析：第1次截取后所得梯形面積為34＝1－14，第2次截取后所得梯形面積為34＋342＝1516＝1－142，…，所以34＋342＋343＋…＋34n＝1－14n.

點評 試題看似已經幫助學生總結出結論，降低難度.實質上，學生必須重新回頭經歷問題中算式的形成過程.若直接從所求算式入手探究規律，則難度很大.解題中，必須結合圖形利用中位線及相似三角形的面積之比等于相似比的平方等知識綜合分析，才可正確快捷的解答問題.

三、通過試題解答的結果，進行數學活動過程的考查

例3 學剪五角星：如圖，先將一張長方形紙片按圖①的虛線對折，得到圖②，然后將圖②沿虛線折疊得到圖③，再將圖③沿虛線BC剪下△ABC，展開即可得到一個五角星.如果想得到一個正五角星（如圖④），那么在圖③中剪下△ABC時，應使∠ABC的度數為().

A.126°

B.108°

C.100°

D.90°

簡解 由折疊過程可知，∠A＝180°÷5＝36°，而正五角星的每個角為36°，但被折疊了一次，所以36°÷2＝18°，根據三角形內角和為180°，得∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－36°－18°＝126°.故選A.

點評 折紙具有操作性和直觀性的特點，在近幾年來各地的中考數學題中常有“折紙問題”出現，折紙問題的解決過程可以利用草稿紙在考場現折（注意不要損毀）.

四、設計包含活動過程的問題，在活動中進行有關過程性目標的考查

例4 為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一種密碼，將英文26個小寫字母a，b，c，…，z依次對應0，1，2，…，25這26個自然數（見表格），當明文中的字母對應的序號為β時，將β+10除以26后所得的余數作為密文中的字母對應的序號，例如明文s對應密文c.

按上述規定，將明文“maths”譯成密文后是（）.

簡解 m對應的數字是12，12＋10＝22，除以26的余數仍然是22，因此對應的字母是w；a對應的數字是0，0＋10＝10，除以26的余數仍然是10，因此對應的字母是k；t對應的數字是19，19＋10＝29，除以26的余數仍然是3，因此對應的字母是d……所以本題譯成密文后是wkdrc，故選A.

點評 解決本題的關鍵是讀懂題意，理清題目中數字和字母的對應關系和運算規則，然后套用題目提供的對應關系解決問題.

因此，備考時應重視對基礎知識的理解，注重知識與實際的聯系，學會思考，對同一問題能舉一反三、融會貫通，領悟思想方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.

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