反例及反證法在線性代數中的作用

【摘要】在各大高等院校教師進行線性代數教學時，為了幫助廣大學生更好地理解和掌握線性代數課程中的數學概念及定理內容，通常會使用舉反例的辦法，與此同時，在講授解題方法時，如果一個教師能夠合理地運用反證法，往往可以降低命題證明的難度，幫助學生理解記憶.本文首先介紹了反例的應用與作用，主要包括反例可以加深對定義的理解和掌握以及反例能夠幫助學生理解和掌握定理，隨后結合教學實例講述了反證法在線性代數解題過程中的使用.

【關鍵詞】反例；反證法；線性代數

《線性代數》是一門內容抽象、理論性很強的課程.該課程中包含很多概念以及定理，不僅要求學生對概念和定理進行識記，更要求學生能夠學以致用.所以，對于初學者而言，準確理解并掌握書中概念和定理內容，并且使用它們進行命題的證明是十分不容易的.而且《線性代數》是一門理論性強、內容抽象的課程.它具有概念及定理多，與實際生活聯系少的特點.因此對于初學者來說，正確理解和掌握概念及定理內容，正確證明命題結論，具有相當大的難度.為此，本文結合實例指出教學過程中采用反例及反證法解決這一問題的必要性.

筆者以下結合自身多年教學經驗，用教材實例說明反例及反證法在線性代數教學過程中的重

要性.

一、反例的應用與作用

（一）反例可以加深對定義的理解和掌握

線性代數以其理論上的嚴謹性、方法上的靈活多樣性以及與其他學科之間的滲透性，使得它在自然科學、社會科學及工程技術等許多領域都有廣泛的應用.并且線性代數對學生邏輯思維能力、抽象思維能力及對事物認知能力的培養也是至關重要的.另外線性代數可為解決實際問題提供重要方法，因為在現代研究中我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要研究多個變量之間的關系，而各種實際問題可以線性化，由于計算機的發展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具.同時線性代數也是學習其他許多課程不可缺少的基本工具.線性代數這門課對學生今后的發展起著一定的基礎性作用.這就需要教師在教這門課時，要給出較好的教學體系的設計，結合適當的教學方法，以達到較好的教學效果.本文利用線性代數中反證法的運用來對線性代數的一些特性以及解題特點進行分析.

數學中的反例是指符合某個命題的條件，而又不符合該命題結論的例子.說得更簡潔一點，反例就是一種指出某命題不成立的例子.當然，從某種意義上來說，所有例子都可以稱為反例，因為它總可以指出某命題(甚至是非常荒謬的命題)不成立.但這里，我們討論的反例是建立在數學上已證實的理論與邏輯推理基礎上的，并且具有一定作用的反例.舉反例也是一種證明的特殊方法，它可證明“某命題不成立”為真.一般地說，一個假命題的反例有多個，我們在舉反例時只選其中一個就可以了.

在線性代數的每一章中都包含許多定義，并且每個定義都用字用詞凝練、精確，內涵豐富，是前人悉心總結而來的.初學者在學習時，希望真正地理解掌握這一定義，就必須多角度、多方面地去思考，最終得出定義的本質所在.

例如，定義:設P是由復數組成的集合，其中包含0和1.如果P中的任意兩個數（兩個數可以相同）對加、減、乘、除四種代數運算是封閉的，那么P就稱為一個數域.

簡短的一句話，就給出了數域的基本含義.初學者要想理解透徹，必然會把這一定義擴展，其中很容易得到易混淆的結論，我們可以舉反例來深入理解數域的定義.

例1 自然數集不是數域.自然數集合中取兩個數1和3，二者的減法運算在自然數集合中不是封閉的，故自然數集不是數域.

例2 整數集不是數域.整數集合中取兩個數3和5，互相進行除法運算時，會產生分數，不在這個集合之內，故整數集不是數域.

上述兩個反例很簡單，但是加深了學生對數域這一概念的理解，方便學生在遇到其他集合時，作出快速而正確的判斷.

再如，如果n維向量組α1，α2，α3，對于任意一組不全為零的數k1，k2，k3，總有k1α1+k2α2+k3α3≠0成立，則向量組α1，α2，α3線性無關.

此類判斷題，也可以用反例來進行得出結果，可以證明其兩者有關是錯誤的來證明其是無關的.

（二）反例能夠幫助學生理解和掌握定理

定理是線性代數課程的重要組成部分，學生在學習過定義的基礎上，掌握相應的定理，才能夠更好地去解決線性代數中的各種問題.而線性代數課程中的定理特點顯著，與我們原來所學習的數學定理具有一定的區別.

例如，定理：在矩陣的乘法中消去律不成立.即由AX=AY不能得出矩陣X與矩陣Y相等.直接理解這一定理無疑是很困難的，因為我們自學習數學以來，接觸到的乘法運算基本都滿足消去律，此處矩陣卻不滿足，值得我們思考并注意.我們可以通過一個簡單的反例來明確.

例3 20001000=20001050=2000成立.

但是，矩陣1000≠1050.

看到這樣一個簡單的反例，同學們一目了然，由于矩陣乘法的特殊運算規則（前一個矩陣的行與后一個矩陣的列中元素對應相乘），它不滿足乘法消去律.

二、反證法在線性代數解題過程中的使用

線性代數課程中的問題一般具有抽象、不易解答、無從下手解決的特點，從正面思考，很難找到問題的解決辦法，這時候，反證法不失為一種解決問題好方法.合理地使用反證法能夠降低問題的難度，同時，也能有效地提高學生解決實際問題的能力.

例4 如果非零n維向量β與n維向量組α1，α2，…，αn中向量都正交，則向量組本身必線性相關.

證明 假設向量組本身線性無關，因為（n+1）個n維向量構成的向量組α1，α2，…，αn，β必線性相關，故向量β可以由向量組α1，α2，…，αn線性表示.即β從而β=0，這與β是非零向量矛盾.所以向量組α1，α2，…，αn必線性相關.

本題是綜合性題目，比較難.如果直接利用線性相關的定義和題設條件證明，得不出任何結論，因此，應考慮用反證法去證明.

例5 定理：二次型f(x1，x2，…，xn)是半正定矩陣的充要條件是它的正慣性指數與秩相等.

這個定理的必要性必須通過反證法來證明，下面只對定理必要性進行證明.

證明 假設二次型f(x1，x2，…xn)的正慣性指數p與它的秩r不相等，則p

f(x1，x2，…，xn)=y21+y22+…+y2p-y2p+1-y2r，

從而令y1=y2=…=yp=0，yp+1=…=yr=1.

我們得出非零解(x1，x2，…，xn)，滿足

f(x1，x2，…，xn)<0，

這與題目中條件f(x1，x2，…，xn)≥0矛盾，故p=r.

證畢.

本題如果直接利用已知條件證明，無法下手，只能根據半正定型的定義和正慣性指數的定義使用反證法證明.

反證法比較抽象，不容易掌握.但它往往使得證明過程簡潔明了，因此如果能掌握反證法的思想，并會在解題中運用，它往往是做證明題的比較簡捷的思路.

再如，設a1，a2，a3，a均為四維列向量，A=［a1，a2，a3，a］，且│A│的行列式的值為2，│B│的行列式的值為3，那么│A-3B│的行列式的數值為多少？

本文主要研究反例與反證法在線性代數中的作用，通過本文的研究，得到了一些成果，但是，由于本人的水平有限以及文章篇幅等多種因素的限制，難免會存在一些不完美的地方，仍然需要下一步的繼續深入研究，進行進一步地完善和提高.希望通過本文的研究，能夠為廣大師生教授和學習線性代數這門課程帶來幫助.

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