如何應用方程思想解題

【摘要】方程思想就是從問題的數量關系分析入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程模型，然后通過解方程使問題獲得解決.此種思想是解決數學問題的一種重要的思想方法.下面筆者從以下幾個角度闡述如何應用方程思想解題：1.巧用方程思想，解決與定義、性質、規律相關的問題；2.巧用方程的性質，解決相關的數學問題；3.巧用方程與函數的關系，解決有關函數問題；4.巧用方程思想，解決幾何中的有關問題.

【關鍵詞】方程思想；數學；函數；幾何

方程思想就是從問題的數量關系分析入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程模型，然后通過解方程使問題獲得解決.此種思想是解決數學問題的一種重要的思想方法.并且方程模型又是研究現實世界數量關系的最根本的數學模型，它可以使人們從數量關系的角度來認識事物.在教材中很多地方都體現了這種思想.另外，在全國各地歷年的中考試題中，方程思想一直是考查的重點內容.可見，方程思想在數學學習與研究中非常重要.下面從幾個角度闡述如何應用方程思想解題.

一、巧用方程思想，解決與定義、性質、規律相關的問題

定義、性質、規律等理論性知識貫穿于整個數學過程之中，而這些理論性知識本身就直接或間接地體現著方程關系，如:單項式與同類二次根式的定義、各種類型的方程的定義、平方根的特點、幾何定理等.遇到此類問題，如果能夠準確地找出其所隱含的數學關系，建立數學模型，可優化解題過程，提高解題效率.

例1 若2amb2m+3n與a2n-3b8的和仍是一個單項式，則m與n的值分別是（）.

解析 此題經過認真分析可以看出，只要2amb2m+3n與a2n-3b8的和仍是一個單項式，就說明2amb2m+3n與a2n-3b8可以合并，即它們是同類項.這樣我們就可以運用方程思想，根據同類項的定義找出等量關系，列出關于m，n的二元一次方程組.從而求出m，n的值.

二、巧用方程的性質，解決相關的數學問題

方程的一些性質，特別是一元二次方程的性質是初中數學的重點內容，在解決某些數學問題時，若能靈活巧妙地將這些性質轉化為方程問題來解決，可使解題過程簡單明了，達到化繁為簡的目的.很多省市的中考試題都滲透著此知識的應用.

例2 已知實數a，b滿足等式a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，則ba+ab的值是.

解析 此題若只重視根的定義的正向應用，分別解出兩個方程的根，再求ba+ab的值，會非常繁瑣、復雜，容易出差錯，有時還會步入僵局使解題無法向下進行.經過認真審題觀察后，若能應用根的定義進行逆向思維，合理地構造出一元二次方程，再根據根與系數的關系，很容易就可求出代數式的值.實際上，根的定義的逆用是一種很重要的方法，在解題中常常發揮著重要的作用，值得我們好好思考、體會.

三、巧用方程與函數的關系，解決有關函數問題

方程和函數是重要的數學模型，它們是中學數學的主要內容，也是歷年中考命題中必考的知識熱點.如果將方程與函數的性質相互地轉化，通過數形結合有機地聯系起來，將函數問題巧妙地轉化為方程問題，可很容易地使函數問題獲解.

例3 已知拋物線x=-12x2+(6-m2)x+m-3與x軸有A，B兩個交點，且A，B兩點關于y軸對稱.

(1)求m的值；

(2)寫出拋物線解析式及頂點坐標.

解析 此題可根據題意想象拋物線的特點：開口向下，關于y軸對稱，與x軸交點的橫坐標互為相反數，其數相乘為負數等.根據這些特點可知相應的一元二次方程的兩根互為相反數，從而可求出m的值.可見，利用好方程與函數的關系，可使函數問題順利得以解決，提高解題效率.

四、巧用方程思想，解決幾何中的有關問題

幾何中的許多問題都反映了圖形中的數量上的相等關系，例如勾股定理、相交弦定理、切割線定理，等等.在很多情況下，同學們若能根據幾何中反映的數量關系，合理設出未知數并建立方程，可以使復雜幾何問題的解答變得相對簡單.

例4 有一塊直角三角板紙片，兩直角邊AC=6 cm，BC=8 cm.現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）.

解析 此題根據題意可知，要求CD的長，可轉化為求DE的長.又易知∠BED=90°，于是可在Rt△BDE中，通過勾股定理建立關于DE的方程，從而求出DE的長.解關于直角三角形或矩形的折疊問題時，利用勾股定理建立方程是求折痕或其他線段長度的常用方法.

通過上面的分析不難得出這樣的結論：上述方法是解決數學問題和實際問題的有用工具.解決有關試題時，同學們要作出認真分析判斷，靈活運用其方法.從而提高解決這類問題的能力.

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