如何使得類比推理的結論更加合理

在高中數學選修2-2創新課時作業（功到自然成）第37頁關于類比推理的一道題：

已知等差數列{an}中的加、減、乘、除運算與等比數列{bn}中的乘、除、乘方、開方對應.

已知等差數列{an}有下列性質：

（1）定義：an+1-an=d(d為常數，n∈N*)；

（2）通項：an=a1+(n-1)d，an=am+(n-m)d(m，n∈N*，m

（3）前n項和：Sn=n(a1+an)2；

（4）等差中項：an+1=an+an+22；

（5）若m+n=p+q=2t，則am+an=ap+aq=2at(m，n，p，q，t∈N*).

通過類比，寫出等比數列{bn}相應的性質.

本題的參考答案為：

（1）定義：bn+1bn=q（q為常數，n∈N*）；

（2）通項：bn=b1qn-1，bn=bmqn-m（m，n∈N*，m

（3）前n項積：Tn=(b1bn)n；

（4）等比中項：bn+1=bnbn+2；

（5）若m+n=p+q=2t，則bmbn=bpbq=b2t（m，n，p，q，t∈N*）.

由等比數列的知識知：

在等比數列中任意相鄰三項也是等比數列，故bn+1是bn與bn+2的等比中項，且b2n+1=bnbn+2，因而（4）是錯的.

又如等比數列1，-2，4，-8，16，-32，…的前3項積T3=-8，而由（3），得T3=(b1b3)3=64=8，顯然（3）也是錯的.

研究其錯因，本題采用的是形式類比，（3），（4）均是由等差數列中的除法運算聯想到等比數列中的開方運算，但是開方運算是存在局限性的.我們如果換個角度從等差數列前n項和Sn=n(a1+an)2的推導方法—倒序相加求和，進行類比聯想，等差—求和—倒序相加，那么等比呢？很容易聯想到：等比—求積—倒序相乘.

下面來驗證：

在等比數列中首尾等距離兩項的積相等，即b1bn=b2bn-1=b3bn-2=…

Tn=b1b2b3…bn-1bn.①

又 Tn=bnbn-1bn-2…b2b1，②

①×②，得T2n=(b1bn)n.顯然當Tn<0時，（4）是不成立的.

通過對本題研究我們發現類比推理時分析問題的角度和高度不同會得到不同的推理結果，結果是否正確仍然需要檢驗.

“多考一點想的，少考一點算的”，以能力立意的數學高考試題不斷推出一些思路開闊、情景新穎脫俗的創新題型，將數學知識、方法和原理融于一體，突出對數學思想方法的考查，體現數學的思維價值，類比思想恰能體現這一點.從近幾年的高考試卷來看，類比思想已逐漸滲透于高考試題之中，成為高考的一大亮點.作為考題我們需要由類比推理得到正確的結論，雖然失敗是成功之母，但考試時的錯誤結論可能會使得某個孩子的成功之路變得漫長甚至于遙遙無期.因而在教學中要教會學生正確的進行類比，下面就此談兩點體會：

1.在高中數學教學中，教師不但要善于利用類比，而且要有意識地對學生進行類比訓練，促使學生在生活和社會實踐中對遇到的問題能進行類比推理，找到解決問題的方法.類比推理的關鍵是找到合適的類比對象，類比的依據是兩者間的相似性，這就需要具備寬厚的知識.

例1 已知圓x2+y2=r2(r>0)的面積為S=πr2，由類比推理，得橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面積為.

思路 從特征量角度分析，橢圓中心——圓的圓心即圓的中心，圓的半徑r——橢圓的長軸a、短軸b均可認為曲線上的點到中心的距離，所以a，b均可類比為r，故面積為πab.

類比猜想要求有一定的依據，但又不要求有充分的根據，這就等于放寬了條件，它對事物的認識可以忽略細部，可以不受嚴格的形式邏輯思維的限制，這就增加了整體思考的機會，因而學生思維的進程得以加快，迅速找到最佳解題思路.本題就可以猜想橢圓上每一點到中心的距離為半徑，特別是當短軸無限逼近長軸時，橢圓越逼近圓，此時的長軸a、短軸b就可以認為是圓的半徑，可以用定積分進行計算.

2.教師在教學中，要有計劃地引導學生進行猜想活動，使其對問題有充分的認識，能運用已有知識和經驗，提出最可能的假設或最好的解決方案，并在可能的條件下，從理論上或實踐上予以驗證，最終得出正確的結論.

例2 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別是F1，F2，P是雙曲線上任意一點，F2在∠F1PF2的內角平分線上的射影為M，則M的軌跡是以原點為圓心，半徑為a的圓，可以類比到橢圓中，寫出你類似的結論.

分析 本題有一半的學生的結論中依然寫的是內角平分線，引導學生對比它們的定義：雙曲線上的點到兩個焦點的距離的差的絕對值為常數2a，應該對應橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為常數2a，所以最可能的應該是內角對應著外角.所以本題的答案最合理的是：橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1與F2，P是橢圓上任意一點，F2在∠F1PF2的外角平分線上的射影為M，則M的軌跡是以原點為圓心，半徑為a的圓.當然結論是否正確一定要進行檢驗證明.

有些學生認為類比聯想就是天馬行空的猜想，如果這樣認為，那就變成了空想，這樣的結論是無用的，所做的工作也是徒勞的.發明創造所追求的是新穎未知的事物，應該是人們暫時還是陌生和不了解的.為此，需要借助于現有的知識與經驗或其他已經熟悉了的事物做橋梁，獲得借鑒啟迪.怎樣才能使得我們的答案是準確無誤的呢？就是讓學生掌握科學研究的一般方法，其模式是“觀察、比較——聯想、類推——作出猜想——檢驗證明”.在教學中不要滿足于對對象相似性的模糊認識，要堅持把它們的相似性用語言確切地表述出來，只有這樣，才能把“類比”和“比喻”區分開來.最后一定要強調對猜想的結果進行檢驗，只有經得起考驗的才是真理.

總之一句話，進行類比推理時，不要從表面上去類比，一定要看到問題的實質，通過證明來說明，這樣問題才能得到圓滿的解決.

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