圓錐曲線中參數范圍的經典解法

解析幾何中確定參數的取值范圍是一類綜合性強、變量多、涉及知識面廣的題目，因而也是解析幾何中的一個難點問題，高考試題中也常出現此類問題.由于不少考生在處理這類問題時無從下手，不知道確定參數范圍的函數關系或不等關系從何而來，本文就通過一些實例來介紹這類問題相應的解法.

一、判別式法

當問題涉及直線與圓錐曲線的位置關系時，一般情況下可將它們的方程聯立，消去其中的一個變量得到關于另一個變量的一元二次方程如A(m)x2+B(m)x+C(m)=0(m為參數），再根據它們的位置關系用判別式Δ=B2(m)-4A(m)C(m)得出關于參數的不等式.

例1 已知一條斜率為k(k≠0)的直線l，與橢圓x23+y2=1交于兩個不同的點M，N，且M，N到點A(0，-1)的距離相等，求直線l的斜率k的取值范圍.

解析 設直線l的方程為y=kx+m，P為MN的中點，則AP⊥MN.

聯立y=kx+m，x23+y2=1，消去y，得

(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0.

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則

xp=x1+x22=-3mk1+3k2，yp=kxp+m=3m1+3k2.

故P-3mk1+3k2，3m1+3k2，∴kAP=-3k2+m+13mk.

∵AP⊥MN，

∴-3k2+m+13mk=-1k(k≠0)，即m=3k2+12.

由Δ=36m2k2-4(1+3k2)(3m2-3)=9(1+3k2)(1-k2)>0，解得-1

評析 該題含有兩個參數k，m，先由AP⊥MN，找出兩個參數k與m之間的關系式，再由直線與橢圓有兩個不同的交點，應用判別式求出參數k與m的不等式，最后求出參數k的取值范圍.

二、利用圓錐曲線的有界性

圓錐曲線中所涉及的幾何量有不少具有有界性，據此可得關于參數的不等式.

點P(x0，y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，則a-r≤x0≤a+r，b-r≤y0≤b+r.

點P(x0，y0)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，則-a≤x0≤a，-b≤y0≤b；

點P(x0，y0)在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上，則x0≤-a或x0≥a；

點P(x0，y0)在拋物線y2=2px(p>0)上，則x0≥0.

三、利用圓錐曲線定義與余弦定理

例2 橢圓x29+y24=1的左、右焦點分別為F1，F2，點P為橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標的取值范圍.

解析 由橢圓方程知a=3，b=2，c=5，e=53.設點P的橫坐標為x，則由橢圓第二定義，得|PF1|=3+53x，|PF2|=3-53x.又∠F1PF2為鈍角，由余弦定理，得|PF1|2+|PF2|2<|F1F2|2，則3+53x2+3-53x2<(25)2，解得-355

評析 由條件∠F1PF2為鈍角得到不等關系|PF1|2+|PF2|2<|F1F2|2或PF1#8226;PF2<0.

四、利用點不在圓錐曲線上

若點P(x0，y0)不在曲線C：f(x，y)=0上，則f(x0，y0)≠0，據此得到不等式:f(x0，y0)>0或f(x0，y0)<0.

點P(x0，y0)在橢圓x2a2+y2b2=1內（外）的充要條件是x20a2+y20b2<1(>1)；

點P(x0，y0)在雙曲線x2a2-y2b2=1內（外）的充要條件是x20a2-y20b2>1(<1)；

點P(x0，y0)在拋物線y2=2px(p>0)的內（外）的充要條件是y20<2px0(y20>2px0).以這些充要條件為背景的范圍問題利用上述不等式就可獲解.

五、利用常見不等式

對于涉及直線與曲線、曲線與曲線關系求參數范圍問題，在消去其中的一個變量得到關于另一個變量的方程后，利用已知量之間的不等關系，得到關于參數的不等式.

六、轉化為求函數的值域

根據已知條件，將參數表示為某一變量的函數，通過求函數的值域使問題得到解決.

七、利用圓錐曲線定義與平面幾何知識

圓錐曲線定義法及幾何法是圓錐曲線問題的重要方法，有些求參數范圍問題也可據此得出含有參數的不等式，從而避免運算可能出現的麻煩.

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