淺析三次函數零點的判斷

【摘要】便于學生判斷三次函數零點的個數，經過驗證得出三次函數有一、二、三個零點的不同結論.

【關鍵詞】三次函數；單調函數；零點

隨著課程改革的深入，導數教學已經納入高中學習內容.經過仔細思考，對三次函數的零點問題，即三次函數與x軸有幾個交點，又如何判斷，在此談談自己的體會，與同行交流一下.

函數f(x)=ax3+bx2+cx+d，其導函數f′(x)=3ax2+2bx+c，Δ=4b2-12ac.

1.當Δ≤0時，f′(x)≥0（f′(x)≤0），三次函數y=f(x)在R上是增函數（減函數），與x軸只有一個交點.

2.當Δ＞0時，f′(x)=0有兩個實根，設為x1，x2，所以三次函數y=f(x)有兩個穩定點，且在x∈（-∞，x1）∪（x2，＋∞）與x∈(x1，x2)內的單調性相反，對應的f(x1)，f(x2)是函數的兩個極值.分三種情況加以分析：

（1）若f(x1)#8226;f(x2)>0，函數的兩個極值同號，函數f(x)在x∈（x1，x2）內無零點.因為y=ax3增或減的速度比y=bx2+cx+d快，故函數y=f(x)在x∈（-∞，x1）或在x∈（x2，＋∞）有一個零點.

（2）若f(x1)#8226;f(x2)＜0，根據三次函數y=f(x)在x∈（-∞，x1）∪（x2，＋∞）與x∈(x1，x2)內的單調性相反，可知函數y=f(x)在x∈（-∞，x1），x∈(x1，x2)，x∈（x2，＋∞）內各有一個零點，函數y=f(x)共有三個零點.

（3）若f(x1)=f′(x1)=0，函數y=f(x)的一個零點為x1，另一個點在x∈（x2，＋∞）內.若f(x2)=f′(x2)=0，函數y=f(x)的一個零點為x2，另一個點在x∈（-∞，x1）內.當三次函數的一個極值為零時，函數y=f(x)共有兩個零點.

例 試判斷函數f(x)=ax3-3x2+1-3a零點的個數.

令f′(x)=3ax2-6x=0，解得x=0，x=2a.

當a>0時，

故函數f(x)有極大值為f(0)=1-3a=a-3a，

有極小值為f2a=a2a3-32a2+1-2a=a2-3a-4a2.

（1)若f(0)f2a>0，則兩個極值點在x軸的同側，函數有一個零點x0，若兩個極值點都在x軸上方，x0∈(-∞，0);若兩個極值點都在x軸下方，x0∈2a，+∞.

（2)①若f2a=0，則a=4或a=-1（舍），此時函數有兩個極值點在x0∈(-∞，0)和x0=2a；②若f(0)=0，則a=3，此時函數有兩個極值點在x0∈2a，+∞和x0=0.

（3)當f(0)f2a<0時，即(a-3)(a-4)(a+1)a3<0，解得3

同理，當a<0時，f′(x)開口向下.

故函數f(x)有極大值為f(0)=1-3a=a-3a，

有極小值為f2a=a2a3-32a2+1-2a=a2-3a-4a2.

（4)若f(0)f2a>0，則兩個極值點在x軸的同側，函數有一個零點x0，若兩個極值點都在x軸上方，x0∈(0，+∞);若兩個極值點都在x軸下方，x0∈-∞，2a.

（5)①若f2a=0，則a=4(舍)或a=-1，此時函數有兩個極值點在x0∈-∞，2a和x0=2a；②若f(0)=0，則a=3(舍).

（6)當f(0)f2a<0時，即(a-3)(a-4)(a+1)a3<0，解得-1

總之，若f(0)f2a>0，函數有一個零點，此時{a|a<-1或04};

若f2a=0或f(0)=0，函數有兩個零點，此時{a|a=-1，3，4};

若f(0)f 2a<0，函數有三個零點，此時{a|-1

【參考文獻】

王后雄.教材完全解讀王后雄學案#8226;.高中數學選修1-1.2009.

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