淺談偶數表兩奇素數之和的表法個數

【摘要】用G(2n)表兩個奇素數之和等于2n的表發個數.命前r個奇素數P

【關鍵詞】孫子定理；逐步淘汰原則；對數函數；黎曼ζ函數

1.介紹和歷史背景

1742年德國數學家哥德巴赫提出了關于整數與素數之間的兩個推測.其中推測（B）也是核心推測：每一個不小于6的偶數都是兩個奇素數之和.

2.證明思路

素數的分布是所有素數的核心問題.對于推測（B）也是一樣.先簡單介紹一下素數的分布：

命 ω(x，r)表不大于x且不為前r個素數2，3，5，…，Pr（Pr≤x）所整除的整數個數.

ω(x，r)=x2-∑1

ω(x，r)~x2-∑x2Pi+∑x2PiPj……=x2∏1-1Pr.

以上證明還可以理解為 ω(x，r)是n減去所有不大于n且滿足x≡0(mod Pr)的元素后剩余元素的個數.

3.兩奇素數之和等于2n的表法個數

我們有x為不大于n的整數，且有前r個素數2，3，…，Pr(Pr≤2n).

定理 當x±n(mod Pr)時，則n+x，n-x同為素數，且（n+x）+（n-x）=2n.

證明 當且僅當xn(mod Pr)x-n(mod Pr)n-x0(mod Pr)n+x0(mod Pr)

2×10731011

4.G(2n)的進一步討論

推論1 ∏1-2Pk>∏1-1Pk2∏1-1P2k.

證明 1-2Pk21-1P2k=1-2Pk-2P3k+1P4k-2P3k+1P4k<0∏1-2Pk>∏1-1Pk2∏1-1P2.

推論2 當(n，r)=1時，

證明 G(2n)~12nπ2ln22n>n2∏1-1Pk2∏1-1P2k.

因黎曼ζ函數∏1-1Pk-1=∑1［n］~ln［n］，因黎曼ζ函數及貝努里數∏1-1P2-1=∑1［n］2=π26，

故G(2n)>n2*1ln2n*6π2=n2*4ln2n*6π2=12nπ2ln22n.

推論3 當(n，Pφv)=Pφv時，G(2n)>12nπ2ln2(2n).

證明 ∵當(n，Pφv)=Pφv時，G(2n)~n2∏n|Pφv1

顯然∏1-1Pφv∏1-2Pβu>∏12nπ2ln2(2n).

由以上推論可以得到結論：任意偶數（2n）至少可以有“12nπ2ln2(2n)”個兩個素數之和的形式.

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