高中導數典型錯例剖析

【摘要】導數給高中數學增添了新的活力，也是高考的熱點內容.由于有些同學對導數的幾何意義或本質理解不深，因而常常出現這樣和那樣的錯誤，現列舉其中的幾種供參考.

【關鍵詞】自變量增量；“過”與“在”；極、最值；單調性；恒成立

導數是高中數學限定選修課中的重要內容，為函數、不等式、解析幾何問題的學習和研究提供了新的視角和方法.運用導數的有關知識研究函數的性質(如單調性、極值、最值)，解決與切線有關的問題，成為歷年高考的熱點之一.

1.忽視對定義中Δx與Δy的一致性理解

例1 已知函數f(x)=14x4-23x3+6，則limΔx→0f(1+Δx)-f(Δ

錯解 ∵f′(x)=x3-2x2，∴原式=f′(1)=-1，選A.或理解x=0，選B.

剖析 導數定義中，分子分母中的自變量增量Δx必須保持對應一致.

正解 limΔx→0f(1+Δx)-f(Δx)2Δx=limΔx→012#8226;f(1+Δx)-f(1)(1+Δx)-1=12f′(1)=-12，選C.

2.忽視“過”與“在”，切線易求錯

例2 曲線y=x2，過點52，6作曲線的切線方程，求曲線的切線方程.

錯解 f′(x)=2x，k=f′52=5，故所求切線方程為10x-2y-13=0.

剖析 52，6不在曲線上，故應先設切點，求出斜率，得到切線，代值求切點.

正解 設切點(x0，x20)，則切線斜率k=f′(x0)=2x0，切線方程為2x0x-y-x20=0，代入點52，6，有x0=2或x0=3，得切線方程為4x-y-4=0或6x-y-9=0.

3.忽視“拐點”，誤把“零點”等同“極值點”

例3 函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a，b的值.

錯解 ∵f′(x)=3x2+2ax+b，由題意知f′(1)=0，且f(1)=10，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3.

剖析 f(x0)為極值的充要條件是f′(x0)=0且x0處兩側的導數符號相反.當a=-3，b=3時，在x=1兩側，f′(x0)同號，此時x=1不為極值點，故取舍有a=4，b=-11.

4.忽視不可導點，混淆極、最值

例4 求函數f(x)=3(x2-2x)2在［-1，3］上的最值.

錯解 f′(x)=43#8226;x-13x2-2x，令f′(x)=0，得x=1.且f(-1)=39，f(1)=1，f(3)=39，∴x=-1或x=3時，函數的最大值為39.當x=1時，函數的最小值為1.

剖析 因為函數的最值可以在導數為0的點或不可導點或區間的端點處取得，而定義域中不可導的點為x1=0，x2=2.∵f(-1)=39，f(1)=1，f(3)=39，f(0)=0，f(2)=0，當x=-1或3時，函數的最大值是39；當x=0或2時，函數的最小值是0.

5.忽視定義域和連續點，單調區間不完善

例5 求函數y=xlnx的單調遞減區間.

錯解 ∵y′=x′#8226;lnx+x#8226;1x=lnx+1，y′<0lnx<-1x<1e，∴y=xlnx的單調遞減區間為-∞，1e.

剖析 忽視原函數的定義域，因為函數的單調區間為定義域的子集，所以必先求定義域{x|x>0}，故單調遞減區間應為0，1e.

6.利用單調性解恒成立問題出錯

例6 已知f(x)=ax3-ax+1在［1，+∞)內單調遞增，求實數a的取值范圍.

錯解 當x≥1時，f′(x)=3ax2-a≥0恒成立，而3x2-1≥0在［1，+∞)內恒成立，因此a≥0.

剖析 由函數f(x)在定義域上單調遞增（或遞減）的充要條件是f′(x)≥0（或f′(x)≤0）且f′(x)在定義域的任一子區間上不恒為零.a=0時，f′(x)=0在［1，+∞)恒成立，此時y=f(x)不具備單調性，舍去.

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