柯西中值定理的應用
2011-12-31 00:00:00耿信社
數學學習與研究 2011年17期
1.利用柯西中值定理判斷函數的單調性
函數的單調性也就是函數的增減性，怎樣才能判斷函數的增減性呢？
我們知道若函數在某區間上單調增(或減)，則在此區間內函數圖形上切線的斜率均為正(或負)，也就是函數的導數在此區間上均取正值(或負值).因此我們可通過判定函數導數的正負來判定函數的增減性.
例1 設f(0)=0，f(x)在(0，+∞)上單調遞增.證明：f(x)x在(0，+∞)上單調遞增.
證明 由柯西中值定理，可以得出f(x)x=f(x)-f(0)x-0=f′(ξ)1=f′(ξ)，0<ξ
2.柯西中值定理和不等式極限
柯西中值定理的一個極其重要的應用就是可以用來計算未定型的極限.兩個無窮小量或兩個無窮大量的比的極限統稱為不定式極限，分別記00，∞∞，0#8226;∞，∞-∞，00，∞0，1∞型和∞∞型不定式.
仔細觀察柯西中值定理表達式的形式，可以看到兩個函數式的比值，在移動條件下可以化成兩個函數的導數的比值，這樣就有可能使得作為未定型的分式的分子與分母所表示的函數，我們將以微分中值定理為理論依據，通過求導，建立一個簡便而有效的求非未定型極限的方法.我們得出下面這個定理：
（1）兩個函數f(x)和g(x)在開區間(a，b)可微，并且在這個開區間上，g(x)的導數不等于0；
（2）存在極限limx→a+0f′(x)g′(x)=A，其中A為一個有限的常數.則在以下情況下：limx→a+0f(x)=0和limx→a+0g(x)=0或者limx→a+0g(x)=∞.那么就有:limx→a+0f(x)g(x)=limx→a+0f′(x)g′(x)=A.反過來在區間的另一個端點也存在相類似的結果.這個定理就稱之為羅必達法則，能有效地應用于未定型的極限計算.
羅必達法則可以運用于7種未定型的極限計算，而最為基本的未定型只有兩種：00和∞∞.00和∞∞型的我們都知道，那么在此就不做介紹了.其他的未定型都可以化成這兩種形式：
①0#8226;∞型.
通過恒等式:f(x)#8226;g(x)=f(x)1g(x)，從而得到00或∞∞這兩種基本形式.
②∞-∞型.
通過恒等式:f(x)-g(x)=1g(x)-1f(x)1f(x)×1g(x)，從而得到00型.
③00，∞0，1∞型.
通過恒等式f(x)g(x)=elnf(x)g(x)=eg(x)lnf(x)，從而得到0#8226;∞，∞-∞，00，∞0，1∞型.再進一步化成00或∞∞這兩種基本形式.
對于兩種基本形式的未定型，直接應用羅必達法則即可，即表示為limf(x)g(x)=limf′(x)g′(x)=A.
顯然這時的條件為f′(x)，g′(x)都存在，并且g′(x)≠0.還有一個不是很明顯，因此初學者常常犯錯誤的地方，就是要求f(x)和g(x)同時以0或者∞為極限.在實際做題時，一定要注意隨時驗證這三個條件，否則必定會犯錯誤..
例2 證明：limx→0+x1-ex=-1.
證明 令t=x，當x→0+時有t→0+，則可以得到：
limx→0+x1-ex=limx→0+t1-et=limx→0+1-et=-1.
3.利用柯西中值定理推導中值公式
例3 設f(x)在開區間（a，b）內二次可微，證明:任意的x，x0∈(a， b)，存在ξ∈(x，x0)，使f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+12f″(ξ)(x-x0)2成立（這就是泰勒公式一次展開式）.
證明 由題可知，只需證明x>x0這一種情況.令
F(x)=f(x)-f(x0)-f′(x0)(x-x0)，G(x)=12(x-x0)2.
求導可得F′(x)=f′(x)-f′(x0)，G′(x)=x-x0.
因為F(x0)=G(x0)=0，F′(x0)=G′(x0)=0兩次應用到柯西中值定理，可以得到:
f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)12(x-x0)2=F(x)G(x)=F(x)-F(x0)G(x)-G(x0)=F′(η)G′(η)=F′(η)-F′(x0)G′(η)-G′(x0)=F″(ξ)G″(ξ)=F″(ξ).
其中η∈(x，x0)，ξ∈(x0，η)，則f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+12f″(ξ)(x-x0)2得到證明.故命題得證.
4.利用柯西中值定理研究函數的某些特性
（1）證明中值點的存在性
例4 設函數f在區間［a，b］上連續，在(a，b)內可導，則ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=ξlnbaf′(ξ).
證明 設g(x)=lnx，顯然它在［a，b］上與f一起滿足柯西中值定理的條件，于是存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)lnb-lna=f′(ξ)1ξ，即存在ξ∈(a，b)使得f(b)-f(a)=ξf′(ξ)lnba.
（2）證明恒等式
例5 證明：arcsinx+arccosx=π2，x∈［0，1］.
證明 令f(x)=arcsinx+arccosx，則f′(x)=11-x2-11-x2≡0，x∈(0，1)，由于f(x)在［0，1］連續，所以f(x)≡f(0)=π2.
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