探究式解題法的有效嘗試

一、問題情景

設a1，a2，…，an是各項不為零的n(n≥4)項等差數列，且公差d≠0，若將此數列刪去某一項后，得到的數列（按原來的順序）是等比數列，則所有數對n，a1d所組成的集合為.

探究式解法 取出一個各項不為零的4項等差數列，且公差d>0，如1，2，3，4，則n，a1d=(4，1).再取出一個各項不為零的4項等差數列，且公差d<0，如數列4，3，2，1，則n，a1d=(4，-4)，則所有數對n，a1d所組成的集合為{(4，1)，(4，-4)}.

一般性解法 （1）當n=4時，由于連續三項既成等差數列又成等比數列的為常數數列，則只能刪去第二或第三項.若刪去第二項，則有a23=a1#8226;a4，得出a1=-4d；若刪去第三項，則有a22=a1#8226;a4，得出a1=d，則數對n，a1d所組成的集合為{(4，1)，(4，-4)}.

（2）當n=5時，若刪去第三項，則有a2#8226;a4=a1#8226;a5，得出d=0，不合題意；若刪去其他任何一項，總有連續三項為常數數列.當n≥5時，顯然都不成立.

總之，所有數對n，a1d所組成的集合為{(4，1)，(4，-4)}.

二、闡述概念

在解決一道數學題時，不是完整的利用題設和學過的概念或定理推出結論，而是從最簡單的或特殊的問題入手，再根據已學的知識得到問題的答案或解題思路，進而得出完整或較為準確的結論，即為探究式解法.它區別于探究性學習，因為探究性學習是指教學過程具有探究性，而探究式解題呈現的是解題思維過程的探究性.數學歸納法就是探究式解題法的一種.

三、簡單應用

1.在解填空題中的應用

（2005年全國卷1理科第15題）△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，若OH=m(OA+OB+OC)，則實數m=.

探究式解法 如圖1，在一個等腰直角三角形ABC中，C為直角頂點，O為外接圓的圓心.因為C為三角形的垂心H，則OH=OC.又因為OA+OB=0，所以，m=1.我們都知道這樣做可能不全面，但是據了解有相當多的考生是這樣做的，事實上結論是正確的.

一般性解法

分析 本題是在平面向量與平面幾何知識的交匯點上命題的一道典型試題.考查應用向量的知識解決平面幾何問題的能力.

解 如圖，延長BO到D，則BD是圓O的直徑，∠BAD=∠BCD=90°.

∴AH∥CD，AD∥CF，AH=DC.

∴OH=OA+AH=OA+DC=OA+DO+OC

=OA+OB+OC.①

又 ∵OH=m(OA+OB+OC)，②

比較①，②兩式可知m=1.

作為一道填空題，這兩種解法比較，易見探究式解法更有優越性，盡管后者方法全面系統，但是一般的學生較難想到.

圖 3

2.在解選擇題中的應用

（2009年上海高考卷文科第18題）過圓C：(x-1)2+(y-1)2=1的圓心，作直線分別交x，y正半軸于點A，B，△AOB被圓分成四部分（如圖3），若這四部分圖形面積滿足SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ，則直線AB有（）

A.0條

B.1條

C.2條

D.3條

探究式解法 由已知，得SⅣ-SⅡ=SⅢ-SⅠ，第Ⅱ，Ⅳ部分的面積是定值，所以，SⅣ-SⅡ為定值，即SⅢ-SⅠ為定值，當直線AB繞著圓心C移動時，只可能有一個位置符合題意，即直線AB只有一條，故選答案B.

其實，在解選擇題時，若用一般性解法，可能難度太大.我們往往不是直接去解，而是通過探究式等解法，探究式解法的應用價值被充分地體現出來.

四、創新展望

1.相對于一般性解題方式，探究式解題更有利于為較難題提供一種解題方式，使得問題簡單化，學生更容易接受.

2.從簡單問題或特殊情況入手得出的結論可能不全面，但有時也是準確的.同時，探究式解題方式或許在解題方法上有意外的收獲，數學歸納法就是探究式解題法的一種.

一般的，老師總想教給學生一個完備的或者系統的解題方法，讓學生掌握并會使用，這一點無可厚非，可是先讓學生想問題，他們未必按照你的預期來實現，更難以接受你所講授的完備的解題方法.我們知道哥德巴赫猜想至今還沒有得到證明，但是在一些簡單命題的證明是上有了很大突破.也許探究式解題方式并不完美，但是更能鍛煉學生的探究能力和創新意識.

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