關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的討論

【摘要】復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)一直是全面掌握求導(dǎo)知識的一個難點和重點，分析清楚復(fù)合函數(shù)的定義和對復(fù)合函數(shù)的求解方法就顯得至關(guān)重要.本文通過對復(fù)合函數(shù)定義的闡述和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的討論，進一步的解釋了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題.

【關(guān)鍵詞】復(fù)合函數(shù)；求導(dǎo)；分析

復(fù)合函數(shù)作為表達(dá)函數(shù)的一種重要形式，因為復(fù)合函數(shù)也由幾個初等函數(shù)構(gòu)成，所以對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)比初等函數(shù)求導(dǎo)更為復(fù)雜.一般地，初等函數(shù)往往可以直接利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，而復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)不但需要理解由哪些初等函數(shù)構(gòu)成，而且求導(dǎo)時也要理清各初等函數(shù)之間的關(guān)系，這個過程往往需要若干步驟才能準(zhǔn)確的求解.按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，在計算復(fù)合函數(shù)時，最關(guān)鍵的是要找出一切中間變量及分解的初等函數(shù)，求導(dǎo)時要經(jīng)過對中間變量的求導(dǎo)計算，這也構(gòu)成了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的難點.

對復(fù)合函數(shù)的定義的準(zhǔn)確理解是掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的根基，在此基礎(chǔ)上，進一步的分析復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法及其推廣應(yīng)用，便于全面的理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法和培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力.

一、理解復(fù)合函數(shù)

遵循分析問題的規(guī)律，即分析問題首先是要認(rèn)清問題的本質(zhì).在討論復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題時，首先應(yīng)該理解復(fù)合函數(shù)的定義，便于認(rèn)清復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，以及對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵點.

復(fù)合函數(shù)，從其字面意思理解可以表示為由多個函數(shù)通過復(fù)合的形式組成的新函數(shù)，即由多個簡單的初等函數(shù)組合構(gòu)成的復(fù)合型函數(shù)，那么要理解復(fù)合函數(shù)，就是要理解構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的初等函數(shù).其中，初等函數(shù)是指冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)（y=xa，a為實數(shù)）、對數(shù)函數(shù)(y=ax，a>0且a≠1)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這五種函數(shù).簡單的初等函數(shù)是指對基本的初等函數(shù)和函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算構(gòu)成的函數(shù)，比如y=8+8sinx，y=ex-x+1等均為初等函數(shù).復(fù)合函數(shù)則通過中間變量把有限個初等函數(shù)組合在一起的新函數(shù).比如，有如下形式的復(fù)合函數(shù)：y=sinU，U=V，V=1-2x，則y=sin1-2x.

這里的U，V依次稱為一個中間變量、第二個中間變量，通過這兩個中間變量的組合就構(gòu)成了復(fù)合函數(shù).

以上過程為正向分解復(fù)合函數(shù)的過程，若給定某個復(fù)合函數(shù)，要認(rèn)識由哪幾個簡單初等函數(shù)構(gòu)成，則需要逆向的分解復(fù)合函數(shù)，比如給定以下復(fù)合函數(shù)形式，y=ln(4+7x3)和y=5(cos6x)2，若分解成簡單的初等函數(shù)，就可分別表示為y=lnu，u=4+7x3和y=5u2，u=cosv，v=6x.即一般方法是：從外向里分析，最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)是以基本函數(shù)為主要形式，各層的中間變量結(jié)構(gòu)也都是基本函數(shù)關(guān)系，這樣一層一層分析向里推進，最里層應(yīng)是關(guān)于自變量的基本函數(shù)或關(guān)于自變量的基本函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算而得到的函數(shù).理解復(fù)合函數(shù)的逆向分解對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)至關(guān)重要，并且是對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵所在.

二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

由于復(fù)合函數(shù)是簡單的初等函數(shù)復(fù)合而成，所以，對其求導(dǎo)關(guān)鍵在于分析清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量.在求導(dǎo)過程中，逐步對復(fù)合函數(shù)的中間變量求導(dǎo)，比如形如y=ecosx的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就包括以下過程：

第一，分清中間變量.可以把y=ecosx看成是由以下過程構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，y=eu和u=cosx；

第二，逐步求導(dǎo).即首先需對整體求導(dǎo)，即y′=(ecosx)′=(eu)′#8226;u′=(eu)′#8226;(cosx)′.接著對中間變量求導(dǎo)，y′=euu=cosx#8226;(-sinx)=-ecosx#8226;sinx.

以上兩步是求解復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般步驟，但是若復(fù)合函數(shù)由較多的簡單初等函數(shù)構(gòu)成，那么這個過程就比較復(fù)雜，就需要一個一般的過程實現(xiàn).一般地，把復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則寫成dydx=dydu#8226;dudx，并將其成為鏈?zhǔn)椒▌t，即復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)中間變量的形式，可以把對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)分為中間變量均為一元函數(shù)的情形，中間變量均為多元函數(shù)的情形，中間變量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)的情形.

三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在物理學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用，特別力學(xué)問題，在對過程建立數(shù)學(xué)關(guān)系后，就需要對力學(xué)過程求解，而這個過程往往是一種復(fù)合函數(shù)的形式.而且，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的能力掌握得如何，是判定對求導(dǎo)知識掌握程度的重要標(biāo)志.因為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則給出了一個相當(dāng)一般的求導(dǎo)方法，許多求導(dǎo)公式都可以通過該法則逐步的推廣得到，可以說其他的求導(dǎo)公式都可以看成是它的特例.并且，表達(dá)函數(shù)的三種形式（顯示表達(dá)、隱士表達(dá)和參數(shù)表達(dá)），雖然各有不同的應(yīng)用場合，但是對它們的求導(dǎo)都可以利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則實現(xiàn)，而且運算的難易和繁簡程度也大相徑庭，比如引用較多的隱函數(shù)求導(dǎo)、復(fù)合函數(shù)的全微分等.

所以，在學(xué)習(xí)時，通過各種題型的反復(fù)訓(xùn)練，然后歸納總結(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，最后形成嚴(yán)密的關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的邏輯思維關(guān)系，就可以全面的掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并可根據(jù)實際情況選擇使用不同求導(dǎo)的方式.這對進一步的掌握全微分、偏微分等知識至關(guān)重要.

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