數學知識的分類與數學教學

一、知識的本質及其分類

現代認知心理學把知識分為兩大基本類型，即陳述性知識和程序性知識.陳述性知識用于回答“世界是什么”，程序性知識則用于回答“怎么辦”.程序性知識可以分為兩個大類，即用于處理外部事物的程序性知識和用于調控自身認知過程的程序性知識.前者相當于智慧技能，而后者則被稱為策略性知識.陳述性知識主要以命題網絡或圖式表征，程序性知識則以產生式和產生式系統(tǒng)的方式來表征；如果兩個命題之間具有共同的成分，那么這兩個命題就可以通過這種共同的成分彼此聯系起來，這樣許多彼此相互關聯的命題組合在一起就在頭腦中構成了一個命題網絡；所謂產生式指“條件—行動”規(guī)則，即一個產生式總是對某一或某些特定的條件滿足時才發(fā)生的某種行為的一種程序.當一個產生式的行動成為另一個產生式的條件時，便形成一個產生式系統(tǒng)，經過充分的操作練習后，產生式系統(tǒng)中的一系列動作會自動發(fā)生，而不需回憶每一個動作產生的條件.

我們知道，數學對象具有高度的抽象性，這種抽象性是思維的產物，而抽象的結果源于抽象的過程.數學學習不能只掌握抽象的結果，還要能體悟抽象的過程，前者可以稱之為結果性知識，包括陳述性知識、程序性知識（包括智慧技能、認知策略）；后者則可以以過程性知識概括之.需要強調的是，過程性知識是伴隨數學活動過程的體驗性知識.體驗分為4個階段：①對知識產生的體驗.體會知識產生的緣由，明晰新舊知識之間的關聯和因果關系.②對知識發(fā)展的體驗.體悟知識發(fā)展的動因，包括數學學科的內部因素和促進知識發(fā)展的外部因素，習得探究數學問題的方法（邏輯的和非邏輯的）和策略.③對知識結果的體驗.領會蘊涵在知識中的數學思想方法，感受數學結構的美.④對知識應用的體驗.體會數學應用的廣泛性，積累解決問題的認知策略和元認知知識，形成自我監(jiān)控的意識和習慣.而且，與結果性知識的外顯性、靜態(tài)性相對，過程性知識是一種內隱的、動態(tài)的知識.首先，過程性知識沒有明確地呈現在教學材料中，而是隱性地依附于學習材料，在學習的過程中潛性地融會貫通，因而表現為內隱性.其次，過程性知識始終伴隨著知識的發(fā)生和發(fā)展過程，學習者只能在學習的過程中去體悟和習得，體現出過程性知識的動態(tài)性.

二、知識分類對數學教學的啟示

根據上述對數學知識的分類，下面從陳述性知識、程序性知識、過程性知識三個層面談談不同數學內容的教學設計的差異：

1.陳述性知識的教學

如上所述，命題網絡的形成主要依賴于記憶，在進行教學設計時，首先應確定教學目標是以檢查學生回憶知識的能力為中心，以檢查學生是否具有這種能力；其次，教師要采取強有力的措施，找準新舊知識之間的聯結點，從學生知識的生長點出發(fā)，引導學生通過自己頭腦里原有的認知結構來同化新知識；然后，教師應考慮采用精加工策略、組織策略、復述策略和復習時間安排策略來幫助學生鞏固知識.在知識的運用階段，教師主要向學生提供提取知識的線索，讓學生根據線索來提取有關的信息.

以“函數”的概念教學為例，函數y=f(x)由自變量、因變量及對應關系三個部分組成，在教學過程中，教師要幫助學生在這三個命題表征的基礎上形成一個概念自身的命題網絡，明晰函數概念與其他概念的關系（從縱向看，函數的上位概念是映射，下位概念是各種特殊函數；從橫向看，需明晰函數與方程、不等式等概念的關系），理解函數與圖像的關系.

2.程序性知識的教學

程序性知識的學習必須通過練習使處于陳述性狀態(tài)的知識轉化為程序性知識，練習的關鍵是讓學生形成“條件—反應”的快速而自動的聯系，掌握程序性知識的實質就是掌握做事的規(guī)則，教師在教學過程中，必須將注意傾注于變式練習的設計.在程序性知識的運用過程中，教師的主要任務是向學生提供技能應用的情境，將產生式運用到與原先練習情境相類似的或完全不同的新情境里去.檢查學生是否掌握了程序性知識，主要不是看其是否記住，而是看其能否在新的情境里解決問題.在教育內容和方法的設計上，應讓學生理解概念與規(guī)則即以陳述性知識方式表征行為序列，在練習時應當注意正反例的運用，通過正反例的練習，可使學生習得的新概念、新規(guī)則更加鮮明、鞏固，以便了解廣泛應用于新的情境，每當遇到適當的條件，便能迅速作出相應的反應.

例如，在“線面夾角”的教學中，教師要讓學生理解定義的合理性，明確直線與其射影夾角的最小性，在具體操作的過程中，要讓學生形成產生式系統(tǒng)：直線的射影→直線與射影所成的角→直線與平面所成的角.

3.過程性知識的教學

過程知識不僅在結果知識的獲得方面可以起到基礎的、輔助的和向導的作用，更為重要的，過程知識既是大容量知識的載體，也是培養(yǎng)良好數學素質的載體，獲取過程知識與獲取結果知識一樣應當成為數學的主要目的.從致力于學生發(fā)展的角度，獲取過程知識才是提高學生數學素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新意識的真正動力和源泉.教學中要力求設計多樣化的數學活動形式，創(chuàng)設恰當的問題情境，提供觀察、實驗、操作、猜想、驗證等方面豐富、直觀的背景材料，使學生在獲取大量動態(tài)過程知識的基礎上，完成知識的建構.在教學過程中，構建“數學共同體”，真誠、自由、和諧的交流環(huán)境使學生能不受約束地將自己在活動中的所感、所思、所悟，伴隨著具體的見解和認知模式顯現出來，并在此基礎上進行檢討、修正、批判和利用.與此同時，我們認為，真正能夠衡量和甄別學生認知能力和水平的不是他們對靜態(tài)知識的記憶、再現和簡單應用，而是他們從數學活動中獲得的過程知識出發(fā)，對靜態(tài)結果、知識所進行的動態(tài)理解、闡釋、批判、綜合和創(chuàng)新，從而教師應尊重學生自主參與數學活動所獲得的過程知識，將其作為一個重要的評價指標.

【參考文獻】

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