基于對稱\\反對稱矩陣的幾何不等式的思考

一、對稱矩陣與超曲面的曲率

所謂對稱矩陣，即滿足轉置矩陣與自身相等(AT=A)的矩陣.關于實對稱矩陣，我們有下列結論：

定理1 假設A=(aij)是實對稱陣，跡trA=nH.則

|A|2+nHa11-∑ni=1a21i≥n2(5-n)4H2.（1）

1.不等式的幾何解釋

在超曲面理論中，不等式（1）有很重要的幾何解釋：設N是n+1維流形，M是N中的超曲面，平均曲率為H.那么M中任意點p處的單位向量η（記法向為ν），存在M的局部正交基{e1，…，en}，使得e1=η.記A=(hij)為第二基本形式，其中hij=〈Aei，ej〉.結合高斯方程和trA=nH，有

nHh11-∑ni=1h21i=Ric(η，η)-Ric(η，η)+K(ν，η)，

其中Ric(η，η)，Ric(η，η)和K(ν，η)分別是M的Ricci曲率、N的Ricci曲率和N的截面曲率.于是，我們有如下幾何意義的不等式：

|A|2+Ric(η，η)-Ric(η，η)+K(ν，η)≥n2(5-n)4H2.

這表明超曲面的第二基本形式、超曲面和外圍空間的Ricci曲率及平均曲率之間有著內在的關系.特別地，如果N=Rn且H=0時，上述不等式表明Rn中的極小超曲面的Ricci曲率有下界-|A|2.上述不等式結合調和函數理論還可以研究流形中穩定常平均曲率超曲面的剛性結構和拓撲性質，如終端（end）的有限性.

2.不等式的證明

記B=A-HI，其中I為單位矩陣.顯然∑ni=1bii=0.于是

|B|2=∑ni，j=1b2ij≥b211+∑ni=2b2ii+2∑ni=2b21i

≥b211+1n-1(∑ni=2bii)2+2∑ni=2b21i

≥nn-1(b211+∑ni=2b21i).

所以，結合bii=aii-H，i=1，…，n和bij=aij，i≠j，i，j=1，…，n，有

nHa11-∑ni=1a21i=(n-1)H2+(n-2)Hb11-(b211+∑ni=2b21i)

≥(n-1)H2+(n-2)|H||B| n-1n-n-1n|B|2，

上式兩邊加上|A|2后，將右邊配方即得定理1的結論.

二、反對稱矩陣與Bochner公式

關于反對稱矩陣，即滿足轉置矩陣與自身的負矩陣相等(AT=-A)的矩陣.我們先看關于它在相似標準型理論中的兩個結論：

1.反對稱矩陣相似型及其推廣

引理2 假設A=(aij)是m階實反對稱矩陣，則A相似于分塊對角形矩陣diag(B1，…，Bn，0，…，0)，其中Bi=0bi-bi0，1≤i≤n，2n≤m.

引理2可以用歸納法證明.實際上，我們有更一般地結論：

引理3 設V是m維向量空間，g是V上的內積.如果ω：V×V→R是反對稱雙線性函數，那么存在正交基{e1，…，e2n，…，em}（它的對偶基是{e1，…，e2n，…，em}）使得ω=∑ni=1bie2i-1∧e2i，這里2n≤m，“∧”是外積.

證明 通過內積g，定義向量空間V到自身的映射A.

g(Au，v)=ω(u，v)，記U=kerA.則V=UW，其中W={u∈V：g(u，v)=0，u∈U}.第一步：選W中單位向量e1使得|Ae1|=supX∈W，|X|=1|AX|.于是AAe1‖e1，記f1=Ae1|Ae1|.于是，g(e1，f1)=0.令W1=span{e1，f1}，W⊥1={v∈W：g(v，w)=0，w∈W1}.類似于第一步，在W⊥1中選擇e2，記f2=Ae2|Ae2|，W2=span{e2，f2}等等.由于向量空間的維數有限，經過有限步后一定會終止.于是V=UW1…Wn，其中Wi由{ei，fi}生成且ω(ei，fi)=|Aei|≠0.

3.Bochner公式

引理3在微分幾何中有很多的應用，我們舉一例加以說明.在黎曼幾何中有Bochner公式：設(M，g)是m維黎曼流形，如果ω=∑IaIωI∈∧p(M)（這里∧p(M)指流形M上所有的p階反對稱張量的集合），那么

Δ|ω|2=2〈Δω，ω〉+2|ω|2+2〈E(ω)，ω〉，（2）

其中E(ω)=Rkβiβjαiαai1…kβ…ipeip∧…∧ejα∧…∧ei1，Rijkl是曲率張量，Δ是由度量g決定的Laplace算子，是聯絡（相當于導數）.

如果p=1，那么〈E(ω)，ω〉=Ric(ω，ω)，其中Ric是Ricci張量.

如果p=2，那么〈E(ω)，ω〉不涉及ω的微分且與基底的選擇無關.因此，可以在一點進行計算.我們可以選取一組基底使得ω=∑ni=1bie2i-1∧e2i，代入到Bochner公式中計算，這大大簡化了計算量（實際上，ω從m(m-1)2項減少到n項）.并且很容易得到：如果流形M具有非負isotropic曲率時，那么〈E(ω)，ω〉是非負的.于是Bochner公式可以給出很好的幾何與拓撲結果，如特殊幾何結構的存在性和同調群的維數等.

如果p≥3，到目前為止，還沒有類似于上述的簡化方法去認識Bochner公式中的項〈E(ω)，ω〉.

姜伯駒院士認為：學生“好”的幾何直觀需要養成和磨煉，是一個潛移默化的過程，需要老師的循循善誘.在幾何課程教學和研究中，通過代數方法獲得解析式，并探尋抽象空間中的直觀解釋，可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數的嚴謹與形的直觀之長，是優化問題解決過程的重要途徑之一，是一種基本的數學方法.

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