關于變式教學的幾點思考

變式教學在中國由來已久，并被廣大教師自覺不自覺地應用著，是中國數學教育的特征之一，對提高數學教學質量有著十分重要的作用.本文結合筆者在教學工作中的實踐經驗談幾點對于變式教學的思考和體會，以供各位同行參考和指正.

一、關于變式教學

從1977年開始，上海市青浦縣顧泠沅小組進行了大面積提高教學質量的教改實驗，歷時14年，他們歸納出青浦縣大面積提高教學質量的教學結構，這種結構包括具有層次性的五個環節，其中第三個環節“組織變式訓練，提高訓練效果”是他們采取的一種行之有效的方法.青浦的經驗強調了“變式訓練是中國數學教育的主要特征之一”，并給我們提供了研究的實驗依據.顧泠沅（1981）系統地分析和綜合了變式教學的概念，確認和說明了兩種變式：“概念性變式”和“過程性變式”.認為數學變式教學就是指保持數學概念、公式、定理、法則、問題、圖形的本質屬性不變的前提下，改變概念的表達方式，變換問題條件、結論的內容和形式，圖形的位置、大小、輔助線的連接方式等，在新的情境下，引導學生從不同的角度、不同的位置、不同的方法去思考問題的一種教學方式.

二、概念性變式，對概念的多角度理解

數學概念較為抽象，有些學生能熟背定義但沒有理解概念的內涵和外延，利用所學知識解題時，常有錯誤發生.利用變式教學，給出概念例證在非本質屬性方面的變化，突出本質屬性，可以使學生獲得的概念更精確、更穩定.概念變式包括圖形變式、式子變式、符號表示、等價說法及反面實例.

例如，在講授多邊形及其有關概念時，可以利用圖形的變式教學創設如下問題情境：讓兩名學生一組，其中一名學生伸出三個手指作為三角形的三個頂點，并套上橡皮筋，向學生提問：現在組成什么圖形？另一名學生將橡皮筋往外拉成一條折線，該折線與三角形的另外兩邊圍成一個什么圖形？再把橡皮筋的一邊往外拉，再固定，又圍成什么圖形？……不斷地向外拉，結果圍成什么圖形？如果上述情況不是往外拉而是往里推，那又是什么圖形？通過拉推橡皮筋對圖形的變式，使學生對三角形的概念展開廣泛聯想，隨著老師的提問，學生邊操作邊觀察分析，并回答，這樣通過類比三角形的概念，學生輕松得出多邊形及其有關概念.

再比如，分別展示下圖中垂直、平行四邊形、三角形的高的標準圖形和非標準圖形(即圖形變式):

引導學生通過概念圖形與非概念圖形的比較，有利于學生十分直觀地理解垂直、平行四邊形、三角形的高的概念的本質屬性.實踐證明通過標準圖形與非標準圖形的比較，容易區分出哪些是圖形的本質特征，哪些是圖形的非本質特征，若能把學生說的圖形的本質特征部分用紅色閃爍的線條標出來，再現知識點，以此突出重點，可加深學生對這一知識的理解.

三、過程性變式，數學活動的有層次推進

數學教學包括兩種類型的活動：一是教陳述性知識（即概念），二是教程序性知識（即過程）.數學活動過程的基本特征是層次性，它包含為解決問題而采取的一系列不同步驟和策略.采取過程性變式，學生能夠解決問題，并形成不同概念之間的層次關系或獲得多種方法.

如果概念是通過一系列過程的發展而形成的，那么允許學生體驗概念的形成過程，尤其是引入新概念時，很有幫助.例如，“方程”概念的教學，主要有兩方面的含義，一是相等思想，二是未知數的含義.若只是讓學生記住方程的定義“含有未知數的等式稱為方程”，學生對方程的理解是形式的外延，并沒有真正理解概念的本質屬性.這個時候應采用“過程性變式”來幫助學生逐步建立方程的概念.比如，甲乙兩地相距200千米，一輛汽車從甲地出發行駛了3個小時，距乙地還有20千米，求汽車行駛的速度.這個問題可以形象地表示為3×速度+20=200，然后可以用簡記符號表示未知量 ×3+20=200.最后用x代替速度：3x+20=200.以上三種表達式反映了代數符號系統發展的三個階段：象形代數、簡寫代數和符號代數.此過程不僅可以幫助學生體驗到用符號代替具體數字的間接性，同時也建立了“方程”概念的具體模型；不僅理解了“未知數”的本質，還體會了相等的基本思想.

數學知識之間的聯系往往不是十分明顯，經常隱藏于例題或習題之中，教學中如果重視對課本例題和習題的“改裝”或引申，進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題進行拓展，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利于學生知識的建構.

例如，把下面問題進行充分運用會有更加意想不到的效果：

圖 1

如圖1，在△ABC中，∠B=∠C，點D是邊BC上的一點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E，F，AB=10 cm，DE=5 cm，DF=3 cm，求：（1）S△ABC.（2）AB上的高.

上題通過連接AD分割成兩個以腰為底的三角形即可求解S△ABC=40 cm2；借助于添加AB上的高CH，利用面積公式和第一題的結論，不難求得AB上的高為8 cm.筆者在教學中并未把求得結論作為終極目標，而是繼續問：3+5=8，在此題中是否是一個巧合？探究DE，DF，CH之間的內在聯系（引導學生猜想CH=DE+DF）.

圖 2

引出變式題（1）：如圖2，在△ABC中，∠B=∠C，點D是邊BC上的任一點，DE⊥AC，DF⊥AB，CH⊥AB，垂足分別是E，F，H，求證：CH=DE+DF.

在計算例題的基礎上，學生已經具有了用面積的不同求法把各條垂線段聯系起來的意識，此題的證明很容易解決.

圖 3

在學生思維的積極性充分調動起來的此時，筆者又借機給出變式（2）：如圖3，在等邊三角形ABC中，P是形內任意一點，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，求證：PD+PE+PF是一個定值.

通過這組變式訓練，面積法在幾何計算和證明中的應用得到了很好的體現，同時這一組變式訓練經歷了一個特殊到一般的過程，有助于深化、鞏固知識，學生猜想、歸納能力也有了進一步提高，更重要的是培養了學生的問題意識和探究意識.

四、信息技術讓數學變式教學如虎添翼

數學學科抽象性、邏輯性很強，初中學生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段，變式教學多媒體課件可在數學知識的抽象性和學生思維的形象性之間架起一座橋梁.

可利用的信息技術工具有電腦、幻燈、電視、實物投影儀，信息技術軟件限于Word、PowerPoint、Flash、幾何畫板、Z+Z超級畫板等.為學生的認知創造了情景，從而可將學生引入尋其因、追其果的境界.

例如，（概念變式，用幾何畫板制作）教同類項概念時，我們編排這樣一組習題：

判斷下列各題中的兩項是不是同類項：

(1)3xy與4xz；（2）3xy2與-4x2y；（3）23xy2與-4x2y；

（4）4xy2z與-4yx2z.

在多媒體屏幕上，可以動態地演示變換系數、字母及其位置、字母的指數，這樣化靜為動的顯示，步步引導，環環推進，在學生的頭腦中留下深刻表象，有助于實現由感知—表象—抽象心理轉化，起到了“潤物細無聲”的效果，使學生對同類項這一概念有透徹的理解——同類項的本質特征是：（1）所含字母相同（位置可以不同）；（2）相同字母的指數相同（不同字母的指數可以不同，系數也可不同）.

再如，（探究性變式，用幾何畫板或Z+Z超級畫板制作）研究函數y=ax2的圖像隨a的變化而變化的規律：

利用Z+Z軟件在計算機上作出二次函數y=x2的圖像，再插入變量a，并將a的取值范圍設定為(-10，10).拖動變量a，分別觀察函數y=ax2的圖像隨a（等于±1，±2，±3，±5，±9）的變化而變化的情況(右圖是0

說明 對于抽象的概念、模型，如函數中函數值隨自變量的變化而變化，二次函數的圖像（拋物線）隨Δ的正負而上下移動，這些能利用動畫十分直觀、形象地表現出來，而且可以反復再現，還可以逐步分解其變化過程，使其變化規律凸現出來.這比單純的講解，學生更容易理解和接受.

可見信息技術環境對數學教育教學過程產生了深刻的影響.實踐證明，恰當地使用多媒體技術，利用圖形、圖像、文本、聲音、動畫等多種媒體信息刺激學生的感官，通過形象生動的畫面、悅耳動聽的音樂等充分展示數學知識的形成過程，能有效地提高初中數學課堂教學效益.

五、結束語

著名數學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍再找一找，很可能附近還有好幾個.”變式就是如此.教師要根據不同的數學課型和內容，組織合理的變式，幫助學生構建良好的知識結構，優化學生的思維品質，培養學生的創新能力，提高他們分析問題和解決問題的能力，真正提高課堂效率.

【參考文獻】

［1］顧泠沅，黃榮金，費蘭倫斯#8226;馬頓.變式教學：促進有效的數學學習的中國方式.云南教育，2007（3）.

［2］劉儒德.對信息技術與課程整合問題的思考［J］.課程教材教法，2004（10）.

［3］鮑建生，等.變式教學研究.數學教學，2003.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文