分塊反上(下)三角陣逆陣的求法

【摘要】本文研究了分塊反上三角陣及分塊反下三角陣的求逆方法，得到類似于分塊對角陣的逆陣的形式，減少了運算量，降低了計算難度.

【關鍵詞】分塊矩陣；分塊對角陣；分塊反上（下）三角陣；矩陣的逆

一、引 言

矩陣作為數學工具之一有其重要的實用價值，它常見于很多學科中，如：線性代數，線性規劃，統計分析以及組合數學等.在實際生活中，很多問題都可以借用矩陣表述并進行運算，如在各循環賽中常用的賽況表格等.對于矩陣的運算和應用，則有很多的問題值得我們去研究，其中當矩陣的行數和列數都相當大時，矩陣的計算和證明會是一個很煩瑣的過程，矩陣分塊的思想由此產生，矩陣分塊可以用來降低較高階矩陣的階數，使矩陣的結構更清晰明朗，從而使一些矩陣的計算簡單化.

用縱線與橫線將矩陣A劃分成若干較小的矩陣：

A11A12…A1tA21A22…A2tAs1As2…Ast .

其中每個小矩陣Aij(i=1，…，s；j=1，…，t)叫做A的一個子塊；分成子塊的矩陣叫做分塊矩陣.

我們已經知道分塊對角陣的逆陣的求法，分塊對角陣的逆陣依然是一個分塊對角陣，其逆為對應對角線上子塊求逆.我們已經得到，對于具有更一般形式的分塊上（下）三角陣有類似的結果.即只要通過計算相關的子塊而得到該矩陣的逆.本文針對反上（下）三角陣，研究其逆的求法.

二、主要結論

分塊反下三角陣的逆：

定理1 設P=0BCD是一個四分塊方陣，其中B為r階方陣，C為k階方陣，當B與C都是可逆矩陣時，則P是可逆矩陣，并且P-1=-C-1DB-1C-1B-10.

類似可得關于分塊反上三角矩陣的逆：

推論2 設P=ABC0是一個四分塊方陣，其中B為r階方陣，C為k階方陣，當B與C都是可逆矩陣時，則P是可逆矩陣，并且P-1=0C-1B-1-B-1AC-1.

當P為分塊對角陣，即定理1中D=0時，可立得關于分塊反對角陣的逆陣的結論：

推論3 設P=0BC0是一個四分塊方陣，其中B為r階方陣，C為k階方陣，當B與C都是可逆矩陣時，則P是可逆矩陣，并且P-1=0C-1B-10.

例 求矩陣M=0001200035400120202400403的逆矩陣.

解 設A=000000，B=1235，C=400020004，D=122303.

則B-1=-523-1，C-1=140001200014，

-C-1DB-1=-140-1212-9434 .

由定理1，可得

M-1=-C-1DB-1C-1B-10=

-1401400-12120120-94340014-520003-1000 .

三、結 論

以上結論告訴我們，分塊反上（下）三角陣的逆陣為分塊反下（上）三角陣，其子塊分別為零矩陣，或一子塊的逆，或為其子塊之間的運算.所以我們能夠把求較高階矩陣的逆轉化成求較低階子塊的逆.這樣的處理給我們的計算帶來很大的方便.上例就是很好的印證.因此我們在求矩陣的逆時，應首先觀察其特點，如果發現其為分塊反上（下）三角陣，即可用上面的公式計算.

基金項目：南京林業大學高學歷人才項目（163101006）資助.

【參考文獻】

［1］百度百科.矩陣［EB］.http://baike.baidu.com/view/10337.htm#2，2009-02-21.

［2］同濟大學數學系編.工程數學線性代數（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編.高等代數（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文