論拉格朗日中值定理的應用

【摘要】本文論述拉格朗日中值定理在理論與實際中的應用，結合典型的例題，論述微積分學的內在聯系與解決實際問題的技巧.

【關鍵詞】拉格朗日中值定理；可導；連續

一、引 言

在高等數學微分學中值定理中，拉格朗日定理是羅爾定理的推廣及柯西定理的特例，因此，它在應用上就具有一定的廣泛性與靈活性，下面從幾個方面進行了探討.

二、微分學部分

1.論述函數有界的命題

設函數f(x)在區間（a，b）內可導，f′(x)在（a，b）內有界，試證函數(x)在區間（a，b）內有界.

證 ∵f′(x)在（a，b）內有界，∴M>0，使得x∈(a，b)，均有|f′(x)|≤M.因為f(x)在（a，b）內可導，則f(x)在（a，b）內連續，記（a，b）的中點為x0，則f(x0)有意義，即fa+b2是一個確定的值.在（a，b）內任取異于x0的點x，在以x0和x為端點的閉區間上，應用拉氏定理得f(x)-f(x0)=f′(ξ)(x-x0)，ξ在x0和x之間，所以|f(x)|-|f(x0)|≤|f(x)-f(x0)|=|f′(ξ)||(x-x0)|≤M(b-a)，得|f(x)|≤fa+b2+M|b-a|，該式對x=x0也成立，故f(x)在（a，b）內有界.

2.論證有關等式成立的命題

設函數f(x)在［a，b］上連續，在（a，b）內f″(x)存在，又連接A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點的直線交曲線y=f(x)于C(c，f(c))點，且a

證 由題意，對f(x)在［a，b］，［c，b］上分別利用拉氏定理有

f′(ξ1)=f(c)-f(a)c-a，ξ1∈(a，c)，

f′(ξ2)=f(b)-f(c)b-c，ξ2∈(b，c).

因為A，B，C在一條直線上，所以有f′(ξ1)=f′(ξ2)，因而f′(x)在［ξ1，ξ2］上滿足羅爾中值定理，于是ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f″(ξ)=0.

3.論證有關不等式成立的命題

設不恒為常數的函數f(x)在閉區間［a，b］上連續，在開區間（a，b）內可導，且f(a)=f(b)，證明在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)>0.

證 因為f(a)=f(b)，且f(x)不恒為常數，所以至少存在一點c∈(a，b)，使f(c)≠f(a)=f(b)，不妨設f(c)>f(a)=f(b)，顯然f(x)在［a，c］上滿足拉氏定理條件，于是至少存在一個ξ∈(a，b)(a，c)，使f′(ξ)=f(c)-f(a)c-a>0.

同理可證f(c)

三、積分學部分

1.用定積分定義計算定積分的命題

用定積分定義計算∫1011+xdx.

解 在［0，1］內插入n-1個分點0=x0

ln(1+xi)-ln(1+xi-1)=f′(ξi)Δxi=11+ξiΔxi，求和：

2.論證積分不等式的命題

設函數f(x)在［a，b］上連續，在（a，b）內可導，且f(a)=0，f′(x)≤M（M為常數），證明：∫baf(x)dx≤12M(b-a)2.

證明 ∵f(x)在［a，x］（a

【參考文獻】

［1］華東師大數學系.數學分析.北京：高等教育出版社，2005.

［2］武術勝，劉貞民.高等數學.長春：吉林大學出版社，2010.

［3］侯風波.高等數學.上海：上海大學出版社，2009.

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