向量數量積的綜合應用

向量作為一種基本工具，在數學解題中有著極其重要的地位與作用，其中向量的數量積是向量中的重中之重，但教材中對于數量積的幾何意義只給出了定義:數量積a#8226;b等于a的長度|a|與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積.由此幾何意義可看出：b在a方向上的投影為|b|cosθ=a#8226;b|a|.本文討論向量數量積的幾何意義的應用.

一、求解射影問題

例1 已知平面上直線l的方向向量e=-45，35，點O（0，0）和A（1，-2）在l上的射影分別為O1和A1，則O1A1=λe，其中λ等于().

解 ∵點O，A在l上的射影，O1A1=λe且|e|=1，∴λ=|OA|cosθ=OA#8226;e|e|=(1，-2)，-45，35=-2.故選D.

例2 在平面內已知OA=（4，1），OB=（2，-3）在直線l上的投影長度相等，求直線l的斜率.

解 設直線l的方向向量a=（1，k）.

二、求解線性規劃問題

新教材中對于求解形如z=ax±by的目標函數在線性約束條件下的最值，一般都是將二元一次函數（目標函數）轉化為求直線在y軸上的截距問題，然后利用線性規劃知識來求解.但如果把z=ax±by看作平面內的向量OM=（a，±b）與向量ON=（x，y）的數量積，則z=OM#8226;ON=|OM|#8226;|ON|#8226;cosθ.因為|OM|是定值，所以由數量積的幾何意義可知：z的最值依賴于ON在OM方向上的投影的最值，此投影的最佳點，即為最有點.此思路直觀、簡捷、明了.

例3 設z=2x+y中的變量x，y滿足下列條件x-4y≤-3，3x+5y≤25，x≥1.求z的最大值與最小值.

解 作出可行域，設N（x，y）為可行域內任一點，M(2，1)，則z=OM#8226;ON，由數量積的幾何意義可知：當N(x，y)在點A(5，2)時，zmax=OM#8226;OA=12；當N（x，y）在點B（1，1）時，zmax=OM#8226;OB=3.

例4 已知x，y滿足下列不等式組

x+2y-1≥0，x-y+2≥0，2x+y-5≤0.求z=3x-2y的最大值與最小值.

解 作出可行域（如圖）.設N（x，y）為可行域內任意一點，M（3，-2），則z=OM#8226;ON=|OM|#8226;|ON |cos∠MON，由數量積的幾何意義可知：

當N（x，y）在點A（3，-1）時，zmax=OM#8226;OA=11；

當N(x，y)在點B（-1，1）時，zmin=OM#8226;OB=-5.

三、求解點到平面的距離問題

如圖，設平面α的一法向量為n，A為平面α外一點，B為平面α內一點，則由數量積的幾何意義得：點A到平面α的距離d=|AB|cos∠BAC=|AB#8226;n||n|.

例5 已知ABCD是邊長為4的正方形，E，F分別為AB和CD的中點，過平面外一點G作GC⊥面ABCD于C，且GC=2，求點B到面GEF的距離.

解 如圖，建立空間直角坐標系，則

G（0，0，2），F（4，2，0），

E(2，4，0)，B（0，4，0）.

∴EF=（2，-2，0），GE=（2，4，-2），

BE=（2，0，0）.

設平面GEF的法向量n=（x，y，z），則

n#8226;EF=0，n#8226;GE=0.

∴2x-2y=0，2x+4y-2z=0，

∴x=y，z=3y，令y=1，則n=(1，1，3)，

∴點B到面GEF的距離為d=|BE#8226;n||n|=21111.

注 在求解空間距離時，若用向量方法，由數量積的幾何意義可得距離的統一公式d=|AB#8226;n||n|，即AB在n上的投影的絕對值.其中在求兩條異面直線的距離時，n為與兩異面直線的方向向量都垂直的一個向量，A，B分別為兩異面直線上的任意兩點；在求直線a到平面α的距離時，n為平面α的一個法向量，A，B分別為直線a與平面α內任意兩點；在求兩平面的距離時，n為兩平面的一個法向量，A，B分別為兩平面內任意兩點.

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