利用矩陣的初等變換把矩陣A對角化

【摘要】利用矩陣的初等變換解決矩陣的可對角化問題可改善矩陣的計算繁瑣問題.

【關鍵詞】對角形矩陣；相似變換；對角化

矩陣的對角化問題是高等代數研究的主要問題之一，在矩陣理論、線性變換、二次型中有廣泛的應用.在高等代數中給出了矩陣的可對角化問題的判別方法和求法，但比較麻煩.利用矩陣的初等變換解決矩陣的可對角化問題可改善矩陣的計算繁瑣問題，本文在這方面進行了探討.

如果對于數域P上n級矩陣A存在一個可逆矩陣T使得T-1AT為對角形矩陣，則稱矩陣A在數域P上可對角化.若矩陣A在數域P上可對角化，則存在可逆矩陣T，使得T-1AT=Λ，其中Λ為對角形矩陣，它的主對角線上的元素為A的全體特征值，T的列向量為屬于Λ的對角線上相應特征值的特征向量.由于T可逆，則T=Q1Q2…Qs，其中Qi為初等矩陣，i=1，2，…，s.于是Λ=Q-1sQ-1s-1…Q-11AQ1Q2…Qs.又因為Q-1i也是初等矩陣，并且P(i，j)-1=P(i，j)，P(i(k))-1=P(i(k-1))，P(i，j(k))-1=P(i，j(-k)).由初等變換與初等矩陣的關系，下面引入矩陣相似變換的定義.

定義 稱以下對矩陣A施行的三種變換為矩陣的相似變換：(1）交換矩陣A的第i行和第j行，再交換第i列和第j列；（2）用非零常數k乘以矩陣A的第i行，再用1k乘以第i列；（3）把矩陣A的第j行乘以數k加到第i行，再把第i列乘以數(-k)加到第j列.

用矩陣的相似變換化矩陣A為對角形矩陣的方法為：設矩陣A=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann，首先利用矩陣的相似變換把矩陣A化成上三角形矩陣，然后化成對角形矩陣.把矩陣A化成上三角形矩陣的方法是：

首先利用矩陣的相似變換使矩陣A中a11≠0，然后選取一組適當的數ki(i=2，3，…，n)，此數組通過解下列方程組獲得：kia11-∑nj=2kja1j+ai1-∑nj=2kjaij=0（i=2，3，…，n）.然后分別把矩陣A的第一行乘以ki加到第i行，再把第i列乘以(-ki)加到第一列，得A1=a11a′12…a′1n0a′22…a′2n…………0a′n2…a′nn.再利用矩陣的相似變換使矩陣A1中的a′22≠0，同樣確定一組適當的數k′i(i=2，3，…，n)，分別把矩陣A1的第二行乘以k′i加到第i行，再把第i列乘以(-k′i)加到第二列，得A1=a11a′12…a′1n0a′22…a′2n…0……00…a′nn，依此類推可把矩陣A化為上三角形矩陣B1=b11b12…b1n0b22…b2n…0……00…bnn .

把上三角形矩陣B1化為對角形矩陣的方法是：把B1第i行乘以-b1ib11-bii加到第一行，再把第一列乘以b1ib11-bii加到第i列，得B2=b110…00b′22…b′2n…………0b′n2…b′nn，依此類推，若最后得到的矩陣B為對角形矩陣，則A可對角化，否則不可對角化.另外我們可通過如下辦法求出可逆矩陣T使T-1AT=B：AE對A施行一系列的相似變換BT，其中對單位矩陣E只施行相應的初等列變換.下面舉例說明.

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