分類討論后的“交”與“并”

分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種方法在簡化研究對象、發展思維方面起著重要作用，因此，有關分類討論思想的數學命題在高考試題中占有重要地位.所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究時，需要根據對象屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果解決整個問題.它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.用分類討論的方法解決含參的問題時，由于學生對分類的標準和對邏輯運算把握不準確，出現集合運算的“交”與“并”不分的錯誤，造成不必要的失分.下面我對分類討論后“交”與“并”的教學作如下探究，不妥之處，敬請指教.

例1 已知集合A＝{x|x2-6x＋8＜0}，B＝{x|(x-a)#8226;(x-3a)＜0}，若A∩B＝，求a的取值范圍.

分析 這道題中含有參數a，解題時，需根據參數的不同取值范圍進行討論.

解 ∵A＝{x|x2-6x＋8＜0}，∴A＝{x|2＜x＜4}.

要滿足A∩B＝，則B=或B與A無公共元素.

當a＞0時，B＝{x|a＜x＜3a}，

∴a≥4或3a≤2，∴0＜a≤23或a≥4；

當a＜0時，B＝{x|3a＜x＜a}，a≤2或a≥43，

∴a＜0時成立；

當a＝0時，B＝，A∩B＝也成立.

綜上所述，a≤23或a≥4時，A∩B＝.

說明 這道題并不難，解題關鍵在于比較a與3a的大小，需要學生具有一定的分析能力和分類技巧.應用分類討論思想解決問題必須保證在討論對象相關的區域內對所討論的問題進行合理的分類，分類時做到不重復、不遺漏、標準統一、分層不越級，然后逐類討論，最后歸納總結，整合得出結論.要合理地應用分類討論的方法解題，需克服兩個易錯點：

易錯點一 區間端點“開”與“閉”的確定

這個看似簡單的問題，恰恰是學生極易丟分的地方.原因是學生在分類時標準不統一或“斷點”沒有找準造成的.只有在統一標準的前提下找準了“斷點”，才能合理地將問題相關的區域分成若干個小區域，準確地把握結果中區間的“開”與“閉”.為此可以做如下變式訓練：A＝{x|2≤x＜4}或B＝{x|(x-a)(x-3a)≥0}，其余條件不變如何解呢?

易錯點二 分類討論后，是求“交集”“并集”，還是不求

類型題1 求“交集”.

求“交集”往往發生在分類討論的某一步中，如例1的解題過程：

當a＞0時，B＝{x|a＜x＜3a}.

∵A∩B＝，∴a≥4或3a≤2，∴0＜a≤23或a≥4.

在上述過程中，“a＞0”是“a≥4或3a≤2”的前提條件，是“且”的關系，所以求條件間的“交集”.多數學生往往只看到“a≥4或3a≤2”而忽視了前提條件“a＞0”，造成失分.

類型題2 求“并集”.

同例1一樣，這類題的特征是：題設條件中含有參數，通過已知條件求參數的取值或取值范圍.解題時要對參數進行分類，在參數的不同情形下求參數的取值或取值范圍，由于各分類間是并列的關系，所以最后要求各分類下參數的取值或取值范圍的并集.

例2 已知函數f(x)=mx2-6mx+m+8的定義域為R，求實數m的取值范圍.

分析 “函數f(x)=mx2-6mx+m+8的定義域為R”的充要條件是“mx2-6mx＋m＋8≥0的解集為R”.

解 依照二次項系數m是否為零進行分類討論.

(1)當m=0時，f(x)＝8，其定義域為R；

(2)當m≠0時，要使mx2-6mx＋m＋8≥0在x∈R的情況下均成立，必須滿足m>0，Δ=36m2-4m(m+8)≤0，解得0＜m≤1.

綜合(1)，(2)可知，m的取值范圍為［0，1］.

類型題3 “不求”.

這類題的特征是：含有參數，求自變量的取值或取值范圍.解題時要對參數進行分類，在參數的不同情形下求自變量的取值或取值范圍.由于各分類下自變量的取值或取值范圍只有在參數特定的條件下才成立，也就是說，各分類下自變量的取值或取值范圍是獨立的，所以最后既不求并集也不求交集.

例3 解不等式2x2+ax+2>0.

分析 根據一元二次不等式的結構特點，依判別式的符號分類，在各分類下討論不等式對應方程根的情況，再結合圖像或公式得出不等式的解集.

解 ∵Δ=a2-16，

∴當Δ<0，即-4

當Δ=0，即a=±4時，原不等式的解集為x|x≠-a4；

當Δ>0，即a<-4或a>4時，方程2x2+ax+2=0的兩根為

x1=14(-a-a2-16)，x2=14(-a+a2-16).

原不等式的解集為x|x<14(-a-a2-16)或x>14(-a+a2-16).

總結 (1)對含參的一元二次不等式，根據題目的特點選擇分類標準，或按x2項的系數a的符號分類，或按判別式的符號分類，或按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小分類.

(2)仔細審題，看清楚分類后是求“交集”“并集”，還是“不求”.求“交集”往往發生在分類的某一類中，條件間是“且”的關系；求“并集”的特點是根據參數分類，求參數的取值或取值范圍，條件間是“或”的關系；而“不求”的特點是根據參數分類，求自變量的取值或取值范圍，雖然各分類間是“或”的關系，但由于自變量的取值是建立在參數的不同分類基礎上，是在參數特定的取值或取值范圍下才成立，故“不求”.

總之，分類討論應注重理解掌握分類的原則、方法與技巧，做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分層別類不重復、不遺漏”，逐步進行討論，獲取階段性結果，看清楚是對階段性成果求“交集”“并集”，還是“不求”，最后進行歸納小結，得出結論.只有科學合理地使用分類討論，才能有效地提高解題能力.

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