淺談預設式數學教學

【摘要】數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識.本文探討預設式教學在數學課堂教學中的應用，在數學課堂教學中，通過預設學生感興趣富有挑戰性的問題，可以吸引學生“眼球”，調動學生課堂的積極性，啟發學生的思維，從而提高教學質量.

【關鍵詞】預設式教學；新課標；創新意識

一、對預設課堂的理解

預設(presupposition)發軔于哲學和邏輯學.德國哲學家Frege在1892年發表的《論涵義與指稱》論文里最早提出了“預設”的概念.他認為，“如果人們陳述某些東西，當然總要有一個預設”.

所謂“預設”，簡而言之就是“預先設定、計劃”.預設是課堂教學的基本要求.它是教師根據教學目標、學生的興趣、學習需要和現有的經驗，以各種形式有目的、有計劃地設計教學活動.即教師必須在課前對教學活動有一個清晰、理性的思考和安排.數學教學中的課堂預設，就是要明確以下五個問題：這節課教什么？要求學生達到怎樣的目標？教師提供什么材料？教師怎么教？學生怎么學？在每一個環節里，如何提問？預計學生會怎樣回答？

傳統的預設式教學程序化、模式化，使師生的生命力得不到充分發揮.因此眾多學者對數學課堂的教學方式進行了研究、探討.本課題就結合具體的課堂教學實例，對如何給學生創設“預設空間”這一問題進行探討.

二、通過預設空間，促進數學課堂有效進行

心理學原理告訴我們：（1）“滿堂灌”的教法極易使學生產生生理和心理的疲勞，容易引起學生的分心現象，而“預設空間”的課，學生可以從中得到積極的休息，由聽轉為思.（2）從記憶原理看，“滿堂灌”的教法不易使學生記住，而“預設空間”的課，很容易使學生記憶，這是因為后者受到前攝抑制和后攝抑制較少之故.（3）從創造和想象原理來說，“預設空間”的課，容易使學生蕩起想象的浪花，激起好奇的漣漪.

在數學課堂教學中，巧妙地運用“預設空間”藝術，設置問題解決的環境，讓學生通過自主以及合作研究的途徑加以解決，促使學生的主觀能動性得到充分發揮，提高學生的學習效率.

傳統課堂教學把每節課的內容任務和進程都具體地甚至按時間順序分解在教案里.也就是像計算機輸出規定程序一樣，完全是教案的展開過程.這種教學使課堂變得機械、沉悶、程式化，缺乏活力.隨著新課程改革的深入，教學設計從著重于教師的“教”到學生的“學”，更多地為學生的學而預設，要求的是“以學生為本”“以學為教”的預設.

為此，在新課標下教師必須重新認識課堂預設.從以學生為主體出發，課前從多維度進行清晰、理性的思考和安排，使預設具有針對性、開放性和靈活性.從而使教師的教有效地促進學生的學.

1.巧妙預設空間，培養思維的深刻性

思維的深刻性就是思維的深度，是發現和辨別事物本質的能力.思維深刻性主要表現在理解能力強、能抓住概念、定理的核心及知識內在聯系，準確地掌握概念的內涵及使用條件和范圍.因此，疏通知識間的內在聯系，是培養思維深刻性的主要手段.在概念教學中，教師一般都是開門見山，直接給出定義，然后給出若干注意事項.雖然講得很細、很深，但由于講得過多，很少留有時間給學生思考、討論，抑制了學生思考的積極性.有時教師滔滔不絕地講，學生卻無動于衷，效果反而不佳.若能巧妙利用“預設空間”藝術，給學生留有思考余地，讓他們主動去研究、探索，掌握概念印象更深刻.

例如，在橢圓定義教學中，可以通過實驗演示，“到兩定點間距離之和大于兩定點間距離、等于兩定點間距離、小于兩定點間距離”時，其軌跡分別如何？然后留出幾分鐘時間由學生思考、總結，從而得出橢圓的定義，同時也加深了對概念內涵的深刻理解.

又如，在學習“相似三角形”一節中，教師出示兩幅形狀相同、大小不等的中國地圖，讓學生觀察并提出問題：“兩幅中國地圖有什么關系？形狀又有什么特點？”在兩幅大小不等的地圖上分別找出北京、武漢、昆明三座城市的位置，并連接三座城市間的線段，得到兩個三角形.接著提問：“兩個三角形有什么關系？形狀有何特點？”待學生猜想、討論一會，引入課題——相似三角形.從而巧妙地借助兩幅大小不等的地圖上三座城市間的連線段建立相似三角形的模型，提出問題讓學生猜想、分析、討論，使得知識銜接自然，并為下一步探索相似三角形的概念埋下伏筆.這種讓學生通過類比的研究方法，通過實驗啟發得到新的定義，從而避免了教師一講到底的“滿堂灌”.通過適時啟發、點撥、總結，既發揮教師的主導作用，又發揮了學生的主體作用，同時培養了學生獨立思考的能力.

2.巧妙預設空間，培養思維的直覺性

“凡事預則立，不預則廢.”預見意識對探索成功率的提高是大有裨益的.解題過程中我們對于解題策略、思路、方向和手段都應該作出正確的判斷和抉擇，否則將誤入歧途.因此在例題教學中，先不急于分析解題思路，而恰當地留有空間，讓學生仔細審題，聯系相關知識，對比權衡，如未知數、自變量、參數的確定，輔助元素的設置，坐標系、點的坐標的選取，分類討論的時機掌握，及討論標準層次的確定等，它們對于解題成敗、難易、繁簡會產生怎樣的影響，在此基礎上作出正確的估計和判斷.

例1 已知兩點M1，54，N-4，-54，給出下列曲線方程：(1)4x+2y-1=0；(2)x2+y2=3；(3)x22+y2=1；(4)x22-y2=1.在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的曲線方程是哪幾個？

通過學生思考，憑直覺可以預見到解決本題的關鍵：將已知條件等價轉化為是否存在線段的垂直平分線與所給曲線有交點.

例2 已知|x-2|+|y+4|=0，求x，y的值.

通過學生思考，憑直覺可以預見到解決本題的關鍵：求兩個非負數的和為0，由非負數的性質可以知道只有這兩個非負數都是0的情況下才可以使它們的和為0，所以x=2，y=-4.

3.巧妙預設空間，培養思維的批判性

思維的批判性表現為善于獨立思考，善于提出問題，精細地檢查思維過程，能及時發現錯誤、糾正錯誤.因此在教學中，恰當地留有空白，讓學生有充分的時間去不斷總結解題經驗和教訓，進行回顧和反思，自覺調控思維過程，自我評價解題思路和方法，尋求最佳答案.從而在挫折中優化解題思路，在辨析中增強免疫力，從而提高思維的批判性.

例3 已知雙曲線方程3x2-y2=3，求出以下列點分別為中點的弦所在直線方程：(1)A(2，1)；(2)B(1，1).

師生共同分析：本題關鍵求出弦所在直線的斜率.如何求斜率？讓學生思考，多數學生略作思考，有如下兩種方法：

（1）設直線斜率為k，寫出直線方程代入雙曲線方程，利用中點坐標公式可以求得斜率.

（2）點差法：設直線與雙曲線交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有3x21-y21=3，3x22-y22=3，兩式相減，得3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.

所以k=y1-y2x1-x2=3(x1+x2)y1+y2=6，進而得到直線MN方程6x-y-11=0.

同理，可求得過點B的直線方程3x-y-2=0.

此時提醒學生檢驗，發現以B為中點的直線與雙曲線并無交點，即以B為中點的弦不存在，引導學生反思：

（1）原因何在？

（2）此直線雖然不是以B為中點的弦所在直線，但是否具有某種性質？

（3）分析點A，B的位置，判斷：當點P在什么位置時存在以B為中點的弦？

例4 △ABC中，AB=8，AC=6，點D在AC上，且AD=2，若要在AB上找一點E，使△ADE與原三角形相似，則AE的長是多少?

由于同學們對利用平行線構造相似三角形的方法比較熟悉，因此很容易想到下面的解法：

圖 1

如圖1，過D作DE∥BC，交AB于E，則△ADE∽△ACB，所以ADAC=AEAB，即26=AE8，解得AE=83.

此時提醒學生，由于題目中沒有提到具體的對應關系，這里的“原三角形”就是讓自己找出對應點，實際上符合條件的點有兩個（E和F），引導學生反思.

以上兩道例題，教師不急于解決這些問題，而讓學生去探索，既激發了他們的求知欲望，又提高了辨別能力，從而完善認知結構.

4.巧妙預設空間，培養思維的廣闊性

思維的廣闊性表現為“為什么是這樣”“還會怎樣”的心理活動過程.對知識的學習，表現為不滿足于知其然，執意追求知其所以然.而創造性思維是最高層次的思維活動，是在自由想象的基礎上對頭腦中已有知識、經驗進行新的組合的結果.引導、誘發、鼓勵學生在強烈的創新意識驅動下不斷實現自我突破，敢于“標新立異”，敢于“離經叛道”.

例5 過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2，求證：y1y2=-p2.

學生證完該題后，與學生一起對其進行變式研究，引導學生變換出一系列命題：

（1）變更命題的條件或結論

變式1 過拋物線y2=2px的焦點作弦P1P2，設兩個交點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，證明：x1x2=p24.

變式2 若拋物線y2=2px的弦的兩端點的坐標適合y1y2=-p2（或x1x2=p24），證弦必過拋物線的焦點.

（2）將命題的特殊條件變為一般條件

變式3 過定點A(a，0)(a>0)作直線交拋物線y2=2px于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，證明：x1x2=a2，y1y2=-2pa.

變式4 若過拋物線焦點弦的兩端點P1，P2分別作對稱軸的垂線，垂足分別為Q1，Q2，證明：|OF|為|OQ1|和|OQ2|的等比中項(其中F為拋物線的焦點).

(3)同時變更命題的條件和結論

變式5 拋物線的焦點弦的端點A，B在拋物線準線上的射影分別為C，D，證明：以CD為直徑的圓與直線AB相切.

變式6 自拋物線的頂點引互相垂直的兩條直線交拋物線于P，Q，證明：直線PQ交對稱軸于定點.

這樣從一個題引出一串題，幫助學生完善知識結構和認知結構，真正收到由表及里、舉一反

三、觸類旁通的功效.這種開放性變式，讓學生直接參與到數學習題形成的過程之中，讓不同程度的學生都能以探索者的姿態出現，能調動學生主動參與的積極性，引起同學們濃厚的興趣，培養了學生思維的廣闊性.

5.巧妙預設空間，培養思維的靈活性

思維的靈活性表現為能夠根據問題條件，及時改變觀察和思維角度，靈活地理解題意，通過類比、聯想等思維活動，揭示本質聯系，巧妙地實現轉化，迅速地找到解題途徑，確定解題方案，從而簡捷解題.

圖 2

例6 如圖2，在△ABC的AB和AC邊上分別向外作正方形ABDE和ACNM，連接CE，MB.求證：CE⊥MB且CE=MB.

分析 因為此題目具備了等邊和等角的條件，我們可以通過全等三角形的證明來完成解題，但是如果我們換一個角度，用旋轉的方法來證明，便能更靈活迅速地解出答案.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文