例談求解二次函數最值的問題

【摘要】二次函數是最簡單的非線性函數之一，在閉區間上必存在最大值、最小值.本文就二次函數的區間和對稱軸動與靜的變化對其最值的求解方法進行了歸納總結，同時還討論了利用最值確定函數或定義區間中的參數值問題，以及在相關學科和實際生活中的應用，等等.

【關鍵詞】二次函數；最值；區間；對稱軸；應用

函數是高中數學的重要內容，二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最值問題在高中數學中是一個非常重要的知識點，它的內涵非常豐富，許多重要的數學方法如配方法、換元法、分類討論法、基本不等式法、賦值法等都與之有著密切的聯系.二次函數在閉區間上必存在最大值、最小值（因為二次函數在閉區間上是連續的），它們分別在區間端點或圖像的頂點處取得，當f(x)=a(x-h)2+k(a>0)時，在區間［m，n］上的最值為：

（1）若h∈［m，n］，則ymin=f(h)=k，ymax=MAX{f(m)， f(n)}.

（2）若h［m，n］，則ymin=MIN{f(m)，f(n)}，ymax=MAX{f(m)，f(n)}.

我們可根據定義區間與對稱軸的位置關系進行分析求解.對于二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是一個較為廣泛的知識點.在中學數學中有關二次函數最常見的問題就是求其函數的最值，尤其是在指定區間上的最值.下面就f(x)=ax2+bx+c(a>0)的最值求解作一個簡單介紹.

二次函數最值的解法：

當x∈R時，對于f(x)=ax2+bx+c(a>0)可知它有最小值為4ac-b24a.但是，當要求f(x)=ax2+bx+c(a>0)在某一指定區間［m，n］上最值時應該怎么辦呢？在這里主要是應用二次函數的單調區間來討論.我們都知道f(x)=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸是x=-b2a，所以y=f(x)在區間-∞，-b2a上為減函數，在-b2a，＋∞上為增函數.因此要求［m，n］上最值，只要討論以下幾種情況：

（1）當［m，n］∈-∞，-b2a時，即-b2a＞n，此時y=f(x)在［m，n］上為減函數，最大值為f(m)，最小值為f(n).

（2）當［m，n］∈-b2a，+∞時，即-b2a

（3）當-b2a∈［m，n］時，即m≤-b2a≤n，此時f-b2a為最小值，取f(m)，f(n)中的較大者為最大值.（還可以說以m，n離-b2a的距離最大者，由圖像的對稱性可得）

當a<0時，f(x)=ax2+bx+c可作類似的分析.

已知二次函數y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)和某定義域區間，求其最值.這種問題是一個綜合性較強的問題，影響二次函數在某區間上的最值的主要取決于區間和對稱軸的位置.下面就區間和對稱軸動與定的變化進行分類，探索求最值的方法.

一、定區間與定軸

二次函數y=f(x)的區間和對稱軸都確定時，則可將函數式配方，再根據對稱軸和區間的關系，結合函數在區間上的單調性，求其最值.

圖 1

例1 已知f(x)=2x2-8x+3，x∈［-1，3］求f(x)最值.

分析 對f(x)配方，得

f(x)=2(x-2)2-5，x∈［-1，3］.

其圖像開口向上，對稱軸x=2∈［-1，3］.

如圖1所示，觀察圖像可知，

f(x)max=f(-1)=13，f(x)min=f(2)=-5.

二、定區間與動軸

二次函數y=f(x)的區間確定而對稱軸變化時，可根據對稱軸在區間的左、右兩側及穿過區間三種情況進行討論，再利用二次函數的示意圖，結合單調性進行求解，例題略.

三、動區間與定軸

二次函數y=f(x)的對稱軸確定而區間在變化時，由區間和對稱軸的關系可知，只需對動區間能否包含拋物線的頂點的橫坐標進行分類討論即可.

1.區間長度不確定，一端點確定

根據題目中二次函數確定的圖像，從而知道其對稱軸的位置，再根據所給出區間可確定其最大值或最小值，再列式求值.

例2 已知f(x)=2x2-8x+5在閉區間［t，4］上有最大值8，求t的值.

解 f(x)=2(x-2)2-3，開口向上，對稱軸為直線x=2，且f(4)=5，由分析得

當0≤t≤4時，f(x)最大值為f(4)，即為5，不合題意；

當t<0時，t距離對稱軸x=2較遠.

故f(x)的最大值為f(t)=2t2-2t+5，令2t2-2t+5=8，且t<0，得t=1-72.

綜上，t=1-72.

2.區間長度確定，兩端點不確定

在坐標軸上根據已給的二次函數圖像，分析對稱軸與動區間兩端點的位置關系，后確定二次函數的最大值和最小值情況，再列式求解，例題略.

四、動區間與動軸

二次函數y=f(x)的區間和對稱軸均在變化時，可根據對稱軸在區間的左、右兩側及穿過區間三種情況討論，并結合圖形和單調性進行處理，例題略.

數學作為一門基礎學科，它是一個非常重要的工具，在自然科學和實踐生活中起著很重要的作用.而二次函數作為數學中的一個簡單而又普通的知識點，其最值問題就讓我們感受到了數學應用的廣泛性.其次不僅僅是二次函數才有這樣的應用價值，還有很多這樣的知識點，在實際應用中起著重要的作用.數學是一門基礎而又重要的學科，科技離不開數學，生活離不開數學，這將引發我們對數學的應用進行更深入的思考.

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