中學數學教材中向量教學初探

【摘要】本文基于初中課本中的向量知識，結合自身的學習及教學經驗，在基于學生們在學習向量知識課程中出現問題的基礎上，深入分析了課本中有哪些不足之處，教師在講解中可能產生哪些失誤，學生在應用中產生哪些錯誤.詳細闡述了在中學數學教學中怎樣分階段孕育學生正確的向量概念和向量加、減運算法則，使初中學生在進入高中學習向量課程中，有一定的感性知識和接受向量時必需的外延，通過對外延的共性的抽象概括，最終使學生確切地掌握向量概念內涵.

【關鍵詞】一維向量；角向量；向量加法；向量減法

一、初中一維向量知識內容簡介

九年義務教育初中三年制《義務教育課程標準實驗教科書數學七年級（上冊）》（以下簡稱七年級數學（上冊））第9頁§1.2數軸的介紹，引入一維空間坐標，開始了一維空間結構代數化，進入了數形結合的新階段.

七年級數學（上冊）第17頁§1.4有理數的加減，在課本中有理數加法的探究欄內提出如下問題：

上表題1、題2已經向智商較高的同學出示了兩個一維向量相加的實際數學模型，接著表中3題、4題要求學生舉二仿二.

以上“探究”引導學生進入了“一維向量加法運算”.

新教材的優點是通過學生主動探索研討完成全部結果，體現了“以學生為主體”教育改革的目標.

教師在教學中應注意如下幾點：

1.在表中1，2題中應強調敘述“連續兩次”，所以用加法求結果，這與小學加法的實際意義是統一的，所以學生的可信度很高.并且學生在解表中3，4兩題時，會自覺用加法列出兩個算式，否則會導致個別同學在3，4兩題中列出減式的結果.

2.在小結中要著重指出“兩個向量相加的操作步驟”：

(1)強調向量的起點和終點；

(2)在向量加法過程中，加數的起點與被加數終點重合（或對齊）；

(3)由被加數起點到加數終點是求得的和并用雙箭頭標出.如圖1所示.

圖1 向量加法示意圖

這為以后有理數減法用數軸表示孕育了先機.如果不給予強調，學生在今后的向量運算中會出現如下錯誤：高中《數學第一冊（下）》第101頁練習題1，如圖2（a）所示，已知向量a，b，用向量加法的三角形法作出a+b.

圖2 向量加法錯誤案例

圖3 向量加法示意圖

根據作者在學術交流過程中發現，有相當一部分同學在課本上信筆一揮，作出如圖2（b）所示的向量加法圖形.經過與學生們和授課教師的交流和探討，總結出產生錯誤的原因：一是學生在初中接觸向量加法時，部分教師在教學過程中沒有重點強調（或沒有讓學生認識到）向量加法的操作步驟；二是在高中數學第一冊（下）第99頁§5.2，向量的加法圖中，如圖3所示，利用圖解的初衷是讓學生們在解題過程中有一個直觀認識，但在圖3中向量a+b中向量b的起點與向量a的終點重合不明顯，從而導致學生們對概念的認識不清.

課堂教學中最重要的兩點：

1.從舊知識孕育新知，突出新知必備的事物本質，學生比較容易接受.

2.學生在接受了事物本質的情況下去學習新知，解決新的問題，思維是在和諧的旋律中展開，這樣學得扎實，學得愉快，學得輕松.否則學生在學習新知過程中形態上雖然不敢“頂牛”，但存在“疑惑”和“可信度低”的隱患，當他們在學習新知時由于受到舊知的局限必然出現“負遷移”，這是符合教育學規律和學生心理活動規律的正常現象.

二、初中幾何中有關向量知識

《數學七年級（上冊）》第131頁§4.4角的表示與度量.在教學過程中，首先用時針與分針所構成的圖形、四面體中任意兩條相交棱所構成的圖形給出角的形象，然后給出靜態角的定義：從一點O出發的兩條射線OA，OB所組成的圖形叫做角，如圖4所示.

圖4 角的靜態定義示意圖

圖5 角的動態定義示意圖

接著用動態對∠AOB作了如下說明：“∠AOB也可以看成射線OA繞著點O旋轉到OB的位置后，形成的圖形，如圖5所示，射線OA，OB分別叫做這個角的始邊和終邊，并且用弧形箭頭表示了按逆時針方向旋轉.”

平面上的角規定了方向以后，就成為了向量.目的是為在高中三角函數中把角的度數推廣到實數，將角納入一維向量的范疇之內埋下伏筆.在這以后的初中數學教學中應保持角在正實數域內這一性質.但在《數學七年級（上冊）》第134頁中的例題1，如圖6(a)所示，求解下列問題：

1.比較∠AOC與∠BOC，∠BOD與∠COD的大小.

2.將∠AOC寫成兩個角的和與兩個角的差的形式.

筆者建議為了保持角的“向量”性質與高中階段三角函數中角的“向量”的性質的一致性，可以將圖6(a)以OD為對稱軸翻折，所得的軸對稱圖形如圖6(b)所示.因為圖6中的角由始邊到終邊都是順時針旋轉的，它們的值都是負實數，因此課本上關于∠AOC>∠BOC和∠BOD>∠COD這兩個不等式就值得商榷（兩個負數，絕對值較大的數較小）！

圖6 角的圖形示意圖

另外，課本沒有專設作兩角和與兩角差的章節，沒有給予“角和”與“角差”的科學定義，僅用第134頁的例題讓學生按自己小學“和”“差”定義直覺判定去解題，筆者建議教者不要“通俗”地解釋：兩個角拼在一起所成的角就是這兩個角的“和”；在一個角的內部挖除另一個角，剩下的角就是兩角的“差”角.

因為角的動態定義已經將“角”看成一維向量，因此它的“和”“差”應當符合一維向量“和”“差”定義，所以“角和”的定義應該按操作步驟作如下的敘述：

例如，如圖7(a)(b)所示，求∠AOB與∠COD的和角.

圖7 求兩個角的角和示意圖

1.如圖7(c)所示，作∠A′O′B′=∠AOB.

2.如圖7(c)所示，以∠A′O′B′的終邊O′B′作為始邊，終邊O′D′沿著逆時針方向落在∠A′O′B′的外部，使得∠B′O′D′=∠COD，最終形成的以O′A′為始邊，O′D′為終邊的∠A′O′D′為∠AOB與∠COD的和角.

三、結束語

這篇文章中的一些內容是筆者在做學生時學習的經歷，有些錯誤是自己在學習中犯下的錯誤；雖然也舉了個別教師在教學中的個別不嚴密之處和課本中個別違反向量定義的敘述，但這僅僅是光輝燦爛的星座上一丁點兒塵粒，筆者以崇敬的心情，將其輕輕拂去，讓星座更加燦爛，決不會影響偉大星座的形象.另外這篇文章是筆者畢業論文的描紅之作，敬請指導老師予以指正.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文