注意數列中的n≥2

【摘要】數列中描述前n項和Sn與通項an關系的公式an=Sn-Sn-1在解題過程中有著廣泛的應用，但是應注意“n≥2”的限定條件，否則會導致解題錯誤.

【關鍵詞】an=Sn-Sn-1；n≥2

我們知道，已知通項an，可以求出前n項和Sn，反之，給出Sn，也可以求出an.而且很多時候，題目中出現的是同時涉及an與Sn的關系式，這類問題的解決辦法是利用轉化與劃歸的思想，實現an與Sn的相互轉化.此時，要注意“n≥2”的限定條件，以免誤解.

例1 已知數列{an}的前n項和Sn滿足log2(Sn+1)=n+1，求數列{an}的通項公式.

錯解 由題意，得Sn=2n+1-1，所以Sn-1=2n-1，故通項公式an=Sn-Sn-1=2n.

錯解分析 上述解題過程忽視了an=Sn-Sn-1成立的條件是n≥2.當n=1時，若a1=S1滿足an=Sn-Sn-1，{an}的通項公式可以用an=Sn-Sn-1表述；若不滿足，則需表述為an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.

正解 由題意，得Sn=2n+1-1.

當n≥2時，Sn-1=2n-1，∴an=Sn-Sn-1=2n.

又 ∵當n=1時，a1=S1=3，

∴an=3，n=1，2n，n≥2.

例2 （2007年福建文21）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）.

（1）求數列{an}的通項公式an；

（2）求數列{nan}的前n項和Tn.

錯解 （1）由題意可知，an+1=2Sn，∴an=2Sn-1.

故an+1-an=2an，即an+1=3an.

∴數列{an}是以1為首項，以3為公比的等比數列.

∴an=3n-1.

（2）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan

=1#8226;30+2#8226;31+3#8226;32+…+n#8226;3n-1，

∴3Tn=1#8226;31+2#8226;32+…+(n-1)#8226;3n-1+n#8226;3n，

∴-2Tn=1+31+32+…+3n-1-n#8226;3n

=1-3n1-3-n#8226;3n，

∴Tn=1+(2n-1)#8226;3n.

錯解分析 上述解法因忽視了公式an=Sn-Sn-1中n≥2的限制條件，導致錯誤.實際上，當n=1時，a1=2S1=2a1=2，顯然a2≠3a1.

正解 （1）∵an+1=2Sn，∴當n≥2時，an=2Sn-1.

兩式相減，得an+1-an=2an，即an+1=3an（n≥2）.

又 ∵a2=2S1=2a1=2，

∴當n≥2時，an=2#8226;3n-2，

∴an=1，n=1，2#8226;3n-2，n≥2.

（2）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.

當n=1時，Tn=1；

當n≥2時，Tn=1+4#8226;30+6#8226;31+…+2n#8226;3n-2，①

3Tn=3+4#8226;31+6#8226;32+…+2n#8226;3n-1.②

①-②，得

-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n#8226;3n-1

=2+2#8226;3(1-3n-2)1-3-2n#8226;3n-1

=-1+(1-2n)#8226;3n-1，

∴Tn=12+n-123n-1(n≥2).

又 ∵T1=a1=1也滿足上式，

∴Tn=12+n-123n-1(n∈N*).

例3 已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1且3an+1+2Sn=3.求數列{an}的通項公式.

錯解 ∵3an+1+2Sn=3，①

∴3an+2Sn-1=3.②

①-②，得3an+1-3an+2an=0.

∴3an+1=an，即an+1an=13.

∴數列{an}是以1為首項，以12為公比的等比數列.

∴an=13n-1.

錯解分析 上述解法由于忽視了n≥2的限制條件，導致結果“對而不全”.因為上述結論an+1an=13中n≥2，因此不符合等比數列定義中“從第二項開始，每一項與前一項的比值為同一個常數”的要求.

正解 由已知3an+1+2Sn=3，①

當n≥2時，3an+2Sn-1=3.②

①-②，得3an+1-3an+2an=0.

∴3an+1=an，即an+1an=13（n≥2）.

又 ∵當n=1時，由3a2+2a1=3，得a2=13，即a2a1=13.

∴由等比數列定義可知，數列{an}是以1為首項，以13為公比的等比數列.

∴an=13n-1.

總之，公式an=Sn-Sn-1只有在n≥2時才能成立，解題時往往忽視n≥2的條件致誤.在解決關于由Sn求an的題目時，可按上述正解的解題過程，分兩步討論，避免出錯.①當n≥2時，an=Sn-Sn-1；②當n=1時，a1=S1，檢驗a1是否符合由①求出的解析式，若符合則統一；若不符合，an=Sn-Sn-1則用分段函數表示：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.

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