統(tǒng)計(jì)平均數(shù)體系新論

【摘要】在諸多統(tǒng)計(jì)學(xué)教材中，統(tǒng)計(jì)平均數(shù)與數(shù)學(xué)平均數(shù)不相區(qū)別，而統(tǒng)計(jì)平均數(shù)體系的設(shè)置更是一個暫時無人涉足的區(qū)域，可以說這是當(dāng)今統(tǒng)計(jì)教材的一個缺陷.而統(tǒng)計(jì)學(xué)作為一門方法論的工具性學(xué)科，如何盡可能地完善其內(nèi)容體系，應(yīng)是統(tǒng)計(jì)教材改革的方向.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)平均數(shù)；統(tǒng)計(jì)平均數(shù)；統(tǒng)計(jì)平均數(shù)體系

統(tǒng)計(jì)平均數(shù)，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中使用最廣泛、最重要的綜合指標(biāo)之一.它的特殊功能，在于能夠反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的平均水平和平均變動情況.因而，西方統(tǒng)計(jì)學(xué)和東方統(tǒng)計(jì)學(xué)都非常重視統(tǒng)計(jì)平均數(shù)，并將其作為統(tǒng)計(jì)學(xué)原理中最基礎(chǔ)的內(nèi)容.

統(tǒng)計(jì)平均數(shù)種類繁多，錯綜復(fù)雜.從類別看，有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；從形式上看，有數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)；從態(tài)勢上看，有靜態(tài)平均數(shù)和動態(tài)平均數(shù)；從計(jì)算方法是否加權(quán)看，有簡單平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)；從反映次數(shù)分配的集中趨勢看，有算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

那么，上述眾多平均數(shù)，是否存在一個完整的體系呢？如果有，其體系又如何形成呢？這一問題，暫時還無人涉足.但是，筆者認(rèn)為，研究這一問題，不僅對統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的理論發(fā)展和應(yīng)用具有重要的意義，而且對統(tǒng)計(jì)學(xué)原理教材的改革也具有巨大的推動作用.

談到平均數(shù)體系，自然就會聯(lián)想到數(shù)學(xué)平均數(shù)的體系，而數(shù)學(xué)平均數(shù)體系是比較完善的.數(shù)學(xué)平均數(shù)是從數(shù)學(xué)冪平均出發(fā)，對抽象數(shù)值的平均.其公式為x=∑ni=1xkin1k，（x為平均數(shù)）.k的取值不同，平均數(shù)的形式就不同.具體來說，當(dāng)k=-1時，x=n∑1x（1），為簡單調(diào)和平均數(shù)；當(dāng)k=0時，x=nπx（2），為簡單幾何平均數(shù)；當(dāng)k=1時，x=∑ni=1xin（3），為簡單算術(shù)平均數(shù)，并且它們之間的關(guān)系是(1)<(2)<(3).

西方統(tǒng)計(jì)學(xué)對統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的定義與數(shù)學(xué)平均數(shù)的定義完全一致，即平均數(shù)是對抽象數(shù)值的平均.其體系的設(shè)置實(shí)質(zhì)上與數(shù)學(xué)平均數(shù)體系如出一轍.而數(shù)學(xué)研究的是抽象的量，統(tǒng)計(jì)研究的具體的量，從這一點(diǎn)看，二者是不能混為一談的.

另外，從東方統(tǒng)計(jì)學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理主要教材看，對統(tǒng)計(jì)平均數(shù)體系的編寫，也存在著缺陷.現(xiàn)以中南大學(xué)出版社出版的《統(tǒng)計(jì)學(xué)原理》（第二版）（歐庚生，陳杏生編）（以下簡稱歐書）、復(fù)旦大學(xué)出版社出版的《統(tǒng)計(jì)學(xué)原理》（李潔明，祈新娥著）（以下簡稱李書）為例.

歐書對統(tǒng)計(jì)平均數(shù)及其體系的設(shè)置進(jìn)行了大膽變革.其意圖是非常明顯的，即試圖融東、西方統(tǒng)計(jì)學(xué)于一體.但這一設(shè)置存在一個基本問題，即統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的概念與統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的體系不相協(xié)調(diào).該書統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的概念為：平均指標(biāo)是反映一定時間、地點(diǎn)、條件下同質(zhì)總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志一般水平的綜合指標(biāo)，又稱平均數(shù).例如平均單位成本、糧食平均畝產(chǎn)、平均工資水平等.顯然這是沿用統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的傳統(tǒng)概念，屬于靜態(tài)平均數(shù)的范疇.但其統(tǒng)計(jì)平均數(shù)體系卻包括了算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).而幾何平均數(shù)屬于動態(tài)平均數(shù).這樣統(tǒng)計(jì)平均數(shù)體系中既包括靜態(tài)平均數(shù)，又包括動態(tài)平均數(shù)，造成統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的概念和體系不協(xié)調(diào)的矛盾.

在李書中，存在的如下問題：

第一，幾何平均數(shù)的概念為：“若干個變量值連乘積開其項(xiàng)數(shù)次方的算術(shù)根.”

第二，該書還說明了算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)三者之間的關(guān)系，即算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù).這明顯是數(shù)學(xué)平均數(shù)之間的關(guān)系.但從統(tǒng)計(jì)平均數(shù)看，統(tǒng)計(jì)算術(shù)平均數(shù)與統(tǒng)計(jì)調(diào)和平均數(shù)只是由于已知條件不同，計(jì)算平均數(shù)時采取不同方法而已，其結(jié)果應(yīng)是統(tǒng)計(jì)算術(shù)平均數(shù)=統(tǒng)計(jì)調(diào)和平均數(shù)，故統(tǒng)計(jì)平均數(shù)與數(shù)學(xué)平均數(shù)有明顯區(qū)別.

綜上所述，不論西方統(tǒng)計(jì)學(xué)或東方統(tǒng)計(jì)學(xué)，對統(tǒng)計(jì)平均數(shù)及其體系的論述，都存在著缺陷.筆者試圖提出統(tǒng)計(jì)平均數(shù)新體系，與廣大讀者探討.該體系有如下幾個方面的特征：

第一，統(tǒng)計(jì)平均數(shù)體系的建立，首先必須要強(qiáng)調(diào)該指標(biāo)的經(jīng)濟(jì)意義.即以算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)以及中位數(shù)、眾數(shù)為框架的新體系.

第二，這一體系，是從統(tǒng)計(jì)平均數(shù)定義的出發(fā)建立的，筆者認(rèn)為統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的定義應(yīng)為：統(tǒng)計(jì)平均數(shù)是反映同質(zhì)總體在空間方面各總體單位某標(biāo)志值的一般水平，或同質(zhì)總體某一指標(biāo)在時間方面變動的一般水平，因而體系中既包含靜態(tài)平均數(shù)，也包含動態(tài)平均數(shù)，統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的內(nèi)涵和外延完全一致，克服了某些教材中內(nèi)涵和外延不一致的矛盾.

第三，體系中應(yīng)體現(xiàn)靜態(tài)平均數(shù)和動態(tài)平均數(shù)的區(qū)別.動態(tài)平均數(shù)（又叫序時平均數(shù)）是運(yùn)用算術(shù)平均法計(jì)算的一類平均數(shù)，它跟靜態(tài)平均數(shù)（又叫一般平均數(shù)）相比，一個抽象的是空間上的差異，一個抽象的是時間上的差異，而數(shù)學(xué)平均數(shù)卻不對此進(jìn)行詳細(xì)區(qū)分，這是統(tǒng)計(jì)平均數(shù)與數(shù)學(xué)平均數(shù)的重大區(qū)別.

第四，體系中還區(qū)分出主要平均數(shù)與附屬平均數(shù).在該體系中加權(quán)算術(shù)平均數(shù)為主要平均數(shù)；加權(quán)調(diào)和平均數(shù)為附屬平均數(shù)，它不過是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形而已，其經(jīng)濟(jì)內(nèi)容與數(shù)值，應(yīng)與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)完全一致.而在數(shù)學(xué)平均數(shù)體系中，這兩個平均數(shù)是完全不一樣的，所以存在算術(shù)平均數(shù)>幾何平均數(shù)>調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系.這是統(tǒng)計(jì)平均數(shù)與數(shù)學(xué)平均數(shù)的又一重大區(qū)別.

第五，體系中還體現(xiàn)出簡單和加權(quán)平均數(shù)以及位置平均數(shù)等平均數(shù)內(nèi)容.統(tǒng)計(jì)學(xué)原理對統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的編寫，如果按這一體系安排，首先，對統(tǒng)計(jì)平均數(shù)從寬口徑（包括總體的靜態(tài)和動態(tài)平均變動）進(jìn)行定義；再按算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)以及中位數(shù)、眾數(shù)等重要平均數(shù)的順序進(jìn)行敘述.在敘述簡單平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)時，應(yīng)打破傳統(tǒng)，先介紹加權(quán)平均數(shù)，再介紹簡單平均數(shù)，因?yàn)楫?dāng)權(quán)數(shù)相等時，加權(quán)平均數(shù)即為簡單平均數(shù)，或者說簡單平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一個特例.同時為了深入論述幾何平均數(shù)，可先作簡單敘述，然后再在動態(tài)數(shù)列中作詳細(xì)論述.那么，統(tǒng)計(jì)平均數(shù)及其體系的面貌，則將為之一新，使之具有“科學(xué)性”“正確性”“完整性”的特點(diǎn).

【參考文獻(xiàn)】

［1］歐庚生，陳杏生［R］.長沙：中南大學(xué)出版社，2006.

［2］李潔明，祈新娥［R］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2006.

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