平均數\\中位數與眾數中考例析

在信息技術日益發展的現代社會，收集、整理、分析信息的能力已成為現代公民所應具有的基本數學素養的一個重要方面.統計與概率的初步認識成為初中義務教育課程標準改革方面的重要內容之一.平均數、中位數與眾數作為數據的代表，反映了一組數據的集中程度，是統計中常用的特征量，以下從三數的歷史背景、內涵以及2010年各地中考試題涉及的相關問題來賞析三數.

一、三數的歷史背景

平均(average)一詞起源于海事法，與保險、公平分享利潤和損失有關.一般地，平均指把一列累加起來的不等量平均分配到每一個個體，使之相等，體現了一種公平、公正精神的訴求.在引申應用中，平均逐漸指代算術平均數，不同起源的算術平均數表現著它的不同內涵.直到19世紀，歷史上的算術平均數才作為一種數據處理方法而出現，和估算有密切關系.

1874年，費歇爾(Fechner)試圖用天文學中行之有效的方法描述心理和社會現象，他使用了中位數，還號召簡化中位數的計算.使用中位數的重要原因是它計算的簡化和直覺上的清晰性.高爾頓(Galton)取得了觀念上的突破.高爾頓研究一些定序變量，如智力、聲望等，平均數不能用于這些情形.比高爾頓年輕一點的同時代的埃其渥斯(Edgeworth)更傾向于中位數而不是平均數，因為平均數對極端數據很敏感，中位數對極端數據不敏感，這是使用它的主要原因.

二、三數的內涵

1.平均數

對收集的一組數據，怎么概括反映這組數據的整體水平？如何選用指標作為一組數據的代表？平均數是個很好的特征量，平均數=求所有數據的總和數據的個數.

應用平均數可以模糊知道人均住房面積，可以統計出人均收入，了解人民生活水平的高低等，平均數在生活中運用廣泛.用平均數估計樣本總體思想的應用也體現出平均數的作用.平均數是很好地反映一組數據平均水平的特征量，有很大的參考價值，但也要考慮異常值的影響，防止“9個乞丐+1個千萬富翁=10個百萬富翁”情況出現.

2.中位數

中位數是將一組數據從小到大排列，最中間的那個數或最中間兩個數的平均數就是中位數.求一組數據的中位數首先要先將這組數據按大小順序排列，有奇數個數據最中間的數據就是中位數，有偶數個數據最中間兩個數據的平均數就是中位數.

中位數體現了一組數據的中等水平，中位數是一組數據的分水嶺，常拿中位數來作比較.例如居民除了關心住地的人均收入外更關心的是自己處于中等水平上下，中等收入及中位數是多少.學生更關心自己的成績處于什么水平.

3.眾 數

眾數指的是一組數據中出現次數最多的數據.出現最多的數據有可能不止一個時，眾數也就同時有幾個.

在做一些選擇時可選用眾數作為一般水平的代表.例如賣什么款式的服裝、進哪些品種水果、哪種方式的服務顧客最滿意等等收集的數據都更傾向于選眾數做代表.

三、三數的應用——中考題例分析

1.平均數和眾數的應用

例1 (黑龍江省牡丹江市)一組數據3，4，9，x的平均數比它的唯一眾數大1，則x＝.

解析 假設x=3，平均數=3+4+9+34，眾數=3，3+4+9+34-1≠3，假設不成立；假設x=4，平均數=3+4+9+44，眾數=4，3+4+9+44-1=4，假設成立；假設x=9，平均數=3+4+9+94，眾數=9，3+4+9+94-1≠9，假設不成立.所以x=4.

此題考查對算術平均數和眾數的概念的理解.平均數、中位數唯一，而眾數不一定唯一.眾數一定是一組數據里出現的數據，而平均數、中位數則不一定.這三個數據有時還可能相等哦.解題時可以對一個問題分情況討論，討論問題時要全面，對可能出現的問題要全面討論.

2.平均數和中位數的應用

例2 (山東省菏澤市)如圖所示：

(2)根據兩班的平均數和中位數，分析哪班成績較好.

(3)如果每班各選2名同學參加決賽，你認為哪個班實力更強些？說明理由.

解析 （1）中位數填85，眾數填100.

（2）因兩班的平均數相同，但初三（1）班的中位數高，所以初三（1）班的成績較好.

首先比較平均數，平均數的大小與一組數據的每一個數據都有關系，對比中位數、眾數可以發現平均數對一組數據的敏感程度更大，選平均數更能反映一組數據整體水平.如果平均數大小相同，再比較中位數和眾數.

(3)前兩名的高分區中初三（2）班的成績為100分，而初三（1）班的成績為100分和85分，如果每班各選2名同學參加決賽，初三（2）班更強.此小題考查讀圖和分析數據并作出決策的能力.

3.用平均數做估計

例3 (赤峰市)今年青海玉樹大地震后，赤峰市某中學開展了“我為災區獻愛心”活動，活動結束后，九年級一班的團支部書記將全班50名同學捐款進行了統計，并繪制成的統計圖.

(1)寫出這50名同學捐款的眾數和中位數.

(2)求這50名同學捐款的平均數.

(3)該校共有學生1600人，請你根據該班的捐款情況，估計這個中學的捐款總數.

解析 （1）讀圖繪制成頻數分布表：

可得眾數是20元和中位數是20元.首先要注意三數可帶單位，其次要看清題目所說的是什么的眾數和中位數，如果不看清楚就會出現眾數是19人的錯誤.

（2）數據重復出現，可用加權平均數計算平均數，x=5×6+10×15+20×19+30×8+50×250=18（元），所以平均數是18元.

（3）估計這個中學的捐款總數=1600×18=28800（元）.

能從統計圖中獲取正確的數據信息以及理解三數的概念是解決此類問題的關鍵.

【參考文獻】

［1］徐章韜.基于數學史的平均數和中位數的教學設計案例［J］.中學數學教學參考，2007（10）.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文