利用射影定理證明蝴蝶定理

蝴蝶定理本是1815年英國《男士日記》上刊載的一道數學征解題.目前，人們已經給出了幾十種證法，由此可見，一道經典名題對充滿好奇心的數學愛好者來說有著多么大的魅力.喬希民把它作為一個論文寫作案例介紹給我們，他曾用正弦定理和余弦定理給出過證明，在分析了正、余弦定理和射影定理的等價性以后，認定射影定理一定可以證出蝴蝶定理，但卻沒有人從這個角度證明過，于是他推薦我們來進行嘗試.

本文首先用解析法——直線的參數方程給出了該定理的一個證明，從中受到啟發，用射影定理證明了一個預備定理后，完成了射影定理證明蝴蝶定理的初衷.

1.蝴蝶定理

該定理可表述如下：AB為⊙G的一條弦，M為其中點，過M任作弦CD，EF，連接CF，DE，分別交AB于P，Q兩點，求證：MP=MQ.

現借助直角坐標系，利用參數方程給出一種解析證法，證明如下：

圖 1

以AB所在直線為x軸，MG所在直線為y軸，建立如圖1的直角坐標系：

記MG=d，⊙G的半徑為r，直線EF，CD的傾斜角分別為α，β，則⊙G的方程為x2+(y-d)2=r2.

直線EF，CD的參數方程分別為：

x=tcosα，y=tsinα，（t為參數）(1)

x=tcosβ，y=tsinβ.（t為參數）(2)

分別代入（1），（2）式⊙G的方程，得

t2-2dsinαt+d2-r2=0，（3）

t2-2dsinβt+d2-r2=0.（4）

設方程（3）的二根為t1，t2，方程（4）的二根為t3，t4，則

t1+t2=2dsinα，t1t2=d2-r2，t3+t4=2dsinβ，t3t4=d2-r2.

且E，F，C，D坐標分別為

E（t1cosα，t1sinα），F（t2cosα，t2sinα），C(t3cosβ，t3sinβ），D(t4cosβ，t4sinβ).

設P點坐標為（m，0），Q點坐標為（n，0），由C，P，E三點共線，得EC∥PE

由于在直線的參數方程中，參數t有明確的幾何意義，t1，t2，t3，t4的絕對值分別表示E，F，C，D到M點的距離，直線傾斜角α，β的引入不僅可以避免利用直線斜率時的討論，而且在圖中對應著明確的角度，使得（5），（6）式的分子、分母都有了幾何意義：

C，D到x軸的距離.

這是一個好的“念頭”，大師波利亞對“念頭”一直是津津樂道：“它會給你指出整個或部分的解題途徑，它或多或少清楚地向你建議該怎么做.”“如果你有一個念頭，你就夠幸運的了.”“感謝所有的念頭.”

受此“念頭”的啟發，便可以得到以下的平面幾何證法.

2.利用射影定理證明下面的預備定理

圖 2

AB為⊙G的一條弦，圓心G到AB的距離為d，M為AB中點，CD為過M的任一條弦，AB，CD所成角為α，如圖2，則MD-MC=2dsinα.

證明如下：

由題知，MG⊥AB，MG=d，連接GC，GD，設⊙G的半徑為r，且∠MDG=∠MCG=θ.

1.當α為銳角時，如圖2所示.

∵∠DMG=π2-α，∠CMG=π2+α，

在△GMD及△GMC中分別利用射影定理有：

MD=dcosπ2-α+rcosθ=dsinα+rcosθ，(7)

MC=dcosπ2+α+rcosθ=-dsinα+rcosθ.（8）

(7)-（8），得MD-MC=2dsinα.

圖 3

2.當α=π2時，結論顯然成立.

3.當α為鈍角時，如圖3所示.

∠DMG=π2-（π-α）=α-π2，

∠CMG=π-α-π2=3π2-α.

同樣在△GMD及△GMC中利用射影定理，得

MD-MC=2dsinα.

圖 4

綜上知預備定理成立.

3.利用預備定理證明蝴蝶定理

由預備定理有：

華羅庚先生說過：

數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；

數無形時缺直覺，形少數時難入微；

數形結合百般好，隔離分家萬事休；

切莫忘，幾何代數流一體，永遠聯系切莫分離.

這一道題的解決過程，不就是對羅老的數形觀的一個很好的印證嗎？蝴蝶定理的幾何直觀，通過坐標工具得到一個準確的數的表達，然后從數的表達式中又窺見形的影像——幾何意義，通過射影定理完成蝴蝶定理的幾何法證明.

【參考文獻】

［1］于海洋.中學數學名題詞典.北京：人民教育出版社，2001.

［2］［美］波利亞.怎樣解題.閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

［3］羅增儒.數學解題學引論.西安：陜西師范大學出版社，1997.

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