利用基本不等式求函數(shù)最值

江蘇省高中新課程改革以來，2008年到2010年進(jìn)行了三年的新模式下的高考，作為考查層次由2007年的了解、理解和掌握、靈活和綜合運(yùn)用三個(gè)層次(分別用A、B、C表示)修改為了解、理解、掌握三個(gè)層次(分別用A，B，C表示).與A層次對應(yīng)的知識點(diǎn)的考查應(yīng)以容易題為主.對理解層次這部分知識的考查有可能出難題.對掌握層次這部分知識的考查，出難題便順理成章.由于高一級層次的要求包括低一級層次要求，因此在這些知識點(diǎn)上也可以出容易題或中等題.考試說明中C級要求的知識點(diǎn)全在必做題部分.具體內(nèi)容如下:兩角和與差的正弦、余弦和正切、平面向量的數(shù)量積、等差數(shù)列、等比數(shù)列、基本不等式、一元二次不等式、直線方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，這些知識點(diǎn)都成為3年新高考的熱點(diǎn).其中運(yùn)用基本不等式求最值更是熱點(diǎn)中的熱點(diǎn).利用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值是高中求函數(shù)最值的主要方法之一.

基本不等式的內(nèi)容及使用要點(diǎn)：

①a，b∈R時(shí)，a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”號成立）；

②a，b≥0時(shí)，a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”號成立）.

這兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)完全一致，但適用范圍不同.若在非負(fù)實(shí)數(shù)范圍之內(nèi)，兩個(gè)公式均成立，此時(shí)應(yīng)根據(jù)題目的條件和結(jié)論選用合適的公式及公式的變形：ab≤a2+b22，ab≤a+b22.對不等式ab≤a2+b22，還有更一般的表達(dá)式：|ab|≤a2+b22.

利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，其條件為“一正二定三等”，“一正”指的是在正實(shí)數(shù)集合內(nèi)，“二定”指的是解析式各因式的和或積為定值（常數(shù)），“三等”指的是等號條件能夠成立.見和想積，湊積為定值，則和有最小值；見積想和，湊和為定值，則積有最大值.舉例分析：

一、一元函數(shù)求最值

例1 （2009年湖南卷文）若x>0，則x+2x的最小值為.

解析 ∵x>0x+2x≥22，當(dāng)且僅當(dāng)x=2xx=2時(shí)取等號.

例2 （南京市2011屆一模）已知f(x)=log2(x-2)，若實(shí)數(shù)m，n滿足f(m)+f(2n)=3，則m+n的最小值是.

解析 此類問題通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解；二是直接用基本不等式.

解法一 由log2(m-2)+log2(2n-2)=3，得(m-2)#8226;(n-1)=4，則m=4n-1+2，所以m+n=4n-1+2+n=4n-1+(n-1)+3≥24+3=7（當(dāng)且僅當(dāng)“n=3”時(shí)，取等號），故m+n的最小值為7.

解法二 m+n=(m-2)+(n-1)+3≥2(m-2)(n-1)+3=7.

二、二元函數(shù)求最值

例3 （2008年江蘇）已知x，y，z∈R+，x-2y+3z=0，則y2xz的最小值為.

解析 本題考查二元基本不等式的運(yùn)用.由x-2y+3z=0，得y=x+3z2，代入y2xz，得x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取“=”.

例4 (泰州市2011屆一模)已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足2xx+1y+1z=yz，則x+1yx+1z的最小值為.

解析 由題知2xx+1y+1z=yz，即x2+xy+xz=yz2.于是可將給定代數(shù)式化簡，得x+1yx+1z=x2+xy+xz+1yz=yz2+1yz≥2yz2#8226;1yz=2，當(dāng)且僅當(dāng)yz=2時(shí)取等號.

三、多元變量求最值

例5 (2006年重慶)若a，b，c＞0且a(a+b+c)+bc=4-23，則2a+b+c的最小值為().

A.3-1

B.3+1

C.23+2

D.23-2

解析 若a，b，c>0且a(a+b+c)+bc=4-23，∴a2+ab+ac+bc=4-23，4-23=a2+ab+ac+bc=14(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤14(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2)，∴(23-2)2≤(2a+b+c)2，則2a+b+c≥23-2.選D.

例6 （2010年四川理）設(shè)a>b>c>0，則2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2的最小值是()

解析 2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2

=(a-5c)2+a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)

=(a-5c)2+ab+1ab+a(a-b)+1a(a-b)

≥0+2+2=4.

當(dāng)且僅當(dāng)a-5c＝0，ab＝1，a(a-b)＝1時(shí)等號成立.

如取a＝2，b＝22，c＝25滿足條件.答案：B.

規(guī)律小結(jié) 利用基本不等式求最值，主要是運(yùn)用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”，且必須滿足三個(gè)前提條件“一正二定三相等”，即“一正”——字母為正數(shù)，“二定”——積或和為定值（有時(shí)需通過“配湊法”湊出定值），“三相等”——等號能否取到，三個(gè)條件缺一不可.

在高考復(fù)習(xí)時(shí)需加強(qiáng)靈活運(yùn)用基本方法的訓(xùn)練.高考試題與平時(shí)訓(xùn)練題有聯(lián)系，也有區(qū)別.要善于將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，要善于從陌生問題中分離出熟悉的問題，進(jìn)而找到解決方法.為此要強(qiáng)化基本方法靈活運(yùn)用的訓(xùn)練.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文