對稱性方法在積分計算中的應(yīng)用

【摘要】通過典型的例子探討了對稱性方法在積分計算中的應(yīng)用，從而說明對稱性方法的有效性及其在簡化積分運(yùn)算中的重要作用.

【關(guān)鍵詞】對稱性方法；定積分；重積分；曲線積分

積分運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)中十分重要的內(nèi)容，定積分、重積分和曲線、曲面積分在高等數(shù)學(xué)課程的知識內(nèi)容上占有較大的比重，積分計算的方法和技巧也是高等數(shù)學(xué)中主要涉及的內(nèi)容之一，其中對稱性方法是積分計算中一種常用和有效的方法，例如奇（偶）函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分公式也可以看做對稱性方法的應(yīng)用.本文通過幾個典型的例子探討對稱性方法在積分計算中的應(yīng)用，同時探討了積分計算中使用對稱性方法的條件.

例1 計算定積分∫π2-π2sin2x1+e-xdx.

可以看出這不是一道常規(guī)的定積分計算的題目，嘗試后會發(fā)現(xiàn)利用不定積分求原函數(shù)，進(jìn)而借助牛頓—萊布尼茲公式求此定積分的方法是行不通的.所以，只能利用被積函數(shù)的特點(diǎn)和定積分的性質(zhì)來進(jìn)行計算.此定積分的積分區(qū)間是關(guān)于原點(diǎn)的對稱區(qū)間，這是一個重要的信息.如果令被積函數(shù)為f(x)，即f(x)=sin2x1+e-x=exsin2x1+ex，則f(-x)=sin2x1+ex，容易計算得f(x)+f(-x)=sin2x，進(jìn)而求積分.

∫π2-π2［f(x)+f(-x)］dx=∫π2-π2sin2xdx

=12∫π2-π2(1-cos2x)dx=π2.

由于被積函數(shù)積分f(x)=sin2x1+e-x是連續(xù)函數(shù)，利用定積分的幾何意義和對稱性可以得到∫π2-π2f(-x)dx=∫π2-π2f(x)dx，從而可以得出∫π2-π2sin2x1+e-xdx=π4.

注1 上例求解過程中十分重要的一步是利用對稱性得出等式∫π2-π2f(-x)dx=∫π2-π2f(x)dx.這一結(jié)果可以推廣到更一般的對稱區(qū)間上函數(shù)積分的情形，即對于任意a>0，若函數(shù)f(x)在區(qū)間［-a，a］上可積，則等式∫a-af(-x)dx=∫a-af(x)dx成立.利用換元積分法容易證明上述等式成立，需要說明的是：一般情況下只需要函數(shù)f(x)可積，不必要求其滿足連續(xù)性.

注2 諸多微積分教材對奇（偶）函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分公式都有講解，但是卻很少有教材論及公式∫a-af(-x)dx=∫a-af(x)dx，然而，從上述例1的求解過程可見這是一個十分有效的公式，利用該公式還可以求形如∫β-βcos2x1+a-xdx積分的值.

接下來探討一個變量的對稱性在積分中應(yīng)用的例子.

例2 設(shè)平面區(qū)域D={(x，y)|0≤x≤a，0≤y≤a}，L為區(qū)域D的正向邊界.證明：Lxesinydy-ye-sinxdx=Lxe-sinydy-yesinxdx.

證明 利用格林公式，上面等式左端

Lxesinydy-ye-sinxdx=D(esiny+e-sinx)dxdy.（1）

同理，等式右端

Lxe-sinydy-yesinxdx=D(e-siny+esinx)dxdy.（2）

由積分區(qū)域D的定義，變量x和y的地位是對稱的，從而如下等式成立

D(esiny+e-sinx)dxdy=D(e-siny+esinx)dxdy，（3）

即等式（1）和（2）右端相等，從而其左端也必然相等，故原等式成立.

最后探討利用積分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性質(zhì)求解積分的例子.

例3 計算二重積分D：|x|+|y|≤1xyf(x2+2y2)dxdy.

由于被積函數(shù)中含有不具體的函數(shù)項f(x2+2y2)，從而該二重積分的求解不能按照常規(guī)的方法將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分進(jìn)行.觀察可以發(fā)現(xiàn)，此積分的積分區(qū)域是關(guān)于y軸對稱的區(qū)域，被積函數(shù)在第一和第二象限是關(guān)于變量x的奇函數(shù)，從而函數(shù)在第一與第二象限的區(qū)域上的積分之和為0，同理可以得出函數(shù)在第三與第四象限的區(qū)域上的積分之和為0，由二重積分的區(qū)域可加性，從而可以得出D：|x|+|y|≤1xyf(x2+2y2)dxdy=0.

注3 例3中的計算既需要積分區(qū)域的對稱性，也要求被積函數(shù)滿足一定的對稱性（奇偶性），二者之一不滿足時，對稱性方法將不再適用.

通過上面的舉例分析，可以發(fā)現(xiàn)對稱性方法是積分計算中一種常用和有效的方法，利用對稱性技巧，可以大大簡化積分的運(yùn)算，但是，運(yùn)用對稱性方法計算積分，一定要仔細(xì)驗證積分區(qū)域和被積函數(shù)所滿足的對稱性質(zhì)，否則，將會造成對稱性方法的不當(dāng)使用.

致謝 論文的相關(guān)研究得到杭州電子科技大學(xué)高等教育研究項目資助（項目編號：YB1112；YB1111）.

【參考文獻(xiàn)】

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文