向量在立體幾何解題中得運用
2011-12-31 00:00:00張益紅
大觀周刊 2011年48期
中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A文章編號：1008-925X(2011)12-0185-02
立體幾何是一門研究空間形式和數量關系的科學，雖然我們有一些處理立體幾何問題的常用方法，但是在一些方法的運用中，還存在著一些學生很難把握的難點尤其是牽涉垂直問題，二面角的大小計算和距離的求解等是學生感到很困難的問題，如果運用純幾何的方法求解，學生一時半會不能有解題的思路，如果將其轉化為向量的問題，再運用向量的知識和方法則會迎刃而解。因此作為教師來講，如果能在這些方面做一些工作，幫助學生解決好這些問題，在教學效果上將起到事半功倍的作用。以下是本人立體幾何中這方面問題的探討，現介紹如下。
1 平面法向量的“另類”算法
在空間平面法向量的算法中，普遍采用的算法是設n=(x，y，z)，它和平面內的兩個不共線的向量垂直，數量積為0，建立兩個關于x，y，z的方程，再對其中一個變量根據需要取特殊值，即可得到法向量。還有一種求法向量的辦法也比較簡便，先來看一個引理：
若平面ABC與空間直角坐標系x軸、y軸、z軸的交點分別為A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，定義三點分別在x軸、y軸、z軸上的坐標值xA=a，yB=b，zC=c（a，b，c均不為0），則平面ABC的法向量為n=λ(1a，1b，1c)(λ≠0)。參數λ的值可根據實際需要選取。
證明：AB→=(-a，b，0)，AC→=(-a，0，c)，
∴n#8226;AB=0，n#8226;AC=0，
∴n=λ(1a，1b，1c)是平面ABC的法向量。
這種方法非常簡便，但要注意幾個問題：
（1）若平面和某個坐標軸平行，則可看作是平面和該坐標軸交點的坐標值為∞，法向量對應于該軸的坐標為0。比如若和x軸平行（交點坐標值為∞），和y軸、z軸交點坐標值分別為b、c，則平面法向量為n=λ(0，1b，1c)；若平面和x，y軸平行，和z軸交點的坐標值為c，則平面法向量為n=λ(0，0，1c)。
（2）若平面過坐標原點O，則可適當平移平面。
例1（07全國Ⅱ#8226;理#8226;19題）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點。
(Ⅰ)求證：EF∥平面SAD；
(Ⅱ)設SD=2CD，求二面角A－EF－D的大小；
（1）如圖，建立空間直角坐標系D-xyz。
設A（a，0，0），S（0，0，b），則B（a，a，0），C（0，a，0）
E（a，a2，0），F（0，a2，b2），EF=（-a，0，b2） 。
取SD的中點G（0，0，b2），則AG=（-a，0，b2）。
EF=AG，EF∥AG，AG平面SAD，EF平面SAD，
所以EF∥平面SAD。
（2）不妨設A（1，0，0），則B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E（1，12，0），F（0，12，1）。
平面AEFG與x軸、z軸的交點分別為A(1，0，0)、G(0，0，1)，與y軸無交點，則法向量n1=(1，0，1)，在CD延長線上取點H，使DH=AE，則DH
瘙 綉 AE，所以AH∥ED，由（1）可知AG∥EF，所以平面AHG∥平面EFD，平面AHG與x軸、y軸、z軸的交點分別為A(1，0，0)、H(0，-12，0)、G(0，0，1)，則法向量n2=（1，-2，1），設二面角A-EF-D的大小為α，則cosα=n1#8226;n2|n1|#8226;|n2|=33，即二面角A-EF-D的大小為arccos33。
2 用向量法求解二面角的兩種途徑
2.1 用法向量解二面角。用法向量求解二面角時遇到一個難題：二面角的取值范圍是[0，π]，而兩個向量的夾角取值范圍也是[0，π]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢還是它的補角？如果是求解異面直線所成的角或直線與平面所成的角，只要取不超過π2的那個角即可，但對二面角卻是個難題。筆者經過思考，總結出一個簡單可行的方法，供讀者參考。
用法向量解二面角首先要解決的問題就是：兩個法向量所夾的角在什么情況下與二面角大小一致？其次，如何去判斷得到的法向量是否是我們需要的那個方向？
對第一個問題，我們用一個垂直于二面角棱的平面去截二面角（如圖一），兩個平面的法向量n1，n2則應分別垂直于該平面角的兩邊。易知，當n1，n2同為逆時針方向或同為順時針方向時，它們所夾的解即為θ。所以，我們只需要沿著二面角棱的方向觀察，選取旋轉方向相同的兩個法向量即可。或者可以通俗地理解，起點在半平面上的法向量，如果指向另一個半平面，則稱為“向內”的方向；否則稱為“向外”的方向。兩個法向量所夾的角與二面角大小相等當且僅當這兩個法向量方向一個“向內”，而另一個“向外”。
對第二個問題，我們需要選取一個參照物。在空間直角坐標系中，我們可以選擇其中一個坐標軸（如z軸），通過前面的辦法，可以確定法向量的方向，再觀察該法向量與xOy平面的關系，是自下而上穿過xOy平面呢，還是自上而下穿過xOy平面？若是第一種情形，則n與OZ→所夾的角是銳角，只需取法向量的z坐標為正即可；若是第二種情形，則n與OZ→所夾的角是鈍角，只需取法向量的z坐標為負即可。若法向量與xOy平面平行，則可以選取其它如yOz平面、zOx平面觀察。
2.2 用半平面內的向量解二面角。由二面角的平面角定義，由棱上一點分別在兩個半平面內作棱的垂線，這樣構成的角即為二面角的平面角。如果分別在兩個半平面內作兩個向量（如圖四），起點在棱上且均垂直于棱，可以看出，這兩個向量所夾的角，與二面角的大小是相等的。這種方法與用法向量解二面角相比，其優點是向量的方向已經固定，不必考慮向量的不同方向給二面角大小帶來的影響。
例2 如圖五，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是BB1的中點。
（1）求二面角E-AC1-B的大小；
（2）求二面角C1-AE-B的大小。
分析：在第（1）題中，只需在AC1上找到兩點G、H，使得GB→、HE→均與AC1→垂直，則GB→、HE→的夾角即為所求二面角的大小。如何確定G、H的位置呢？可設GA=λAC1，GB=GA+AB=λAC1+AB，這樣向量GB→就用參數λ表示出來了，再由GB→#8226;AC1→=0求出λ的值，則向量GB→即可確定，同理可定出H點。第（2）題方法類似。
解：以B為坐標原點，BC為x軸，BA為y軸建立空間直角坐標系，則B(0，0，0)， A(0，1，0)， C(1，0，0)， B1(0，0，2)， C1(1，0，2)， E(0，0，1)。AC1→= (1，-1，2)，AB→=(0，-1，0)。
（1）設GA=λAC1=（λ，-λ，2λ），則
GB=GA+AB=（λ，-λ-1，2λ）
由GB→#8226;AC1→=0λ+(λ+1)+4λ=0，
解得：λ=-16，
∴GB→=(-16，-56，13)。
同理可得：HE→=(-12，-12，0)，HE→#8226;AC1→=0。
GB→、HE→的夾角等于二面角E-AC1-B的平面角。
cos
GB#8226;HE|GB|#8226;|HE|=6GB#8226;2HE|6GB|#8226;|2HE|=1+530#8226;2=155，
∴二面角E-AC1-B的大小為arccos155。
（2）AE →=(0，-1，1)， 在AE上取點M、N，設
MA=γAE=（0，-γ，γ），
則MB=MA+AB=（0，-γ-1，γ），
由MB→ #8226;AE→=0得：γ+1+γ=0，解得：γ=12，
∴MB→=（0，-12，-12）。
同理可求得：NC1=(1，12，12)， NC1→#8226;AE→=0。
∴MB→、NC1→的夾角等于二面角C1-AE-B的平面角。
cos
∴二面角C1-AE-B的大小為arccos(-33)。
3 空間直線與空間平面的向量形式的妙用
在平面解析幾何中，曲線上的動點可以用坐標表示，通過對變量的運算達到求值、證明的目的。在立體幾何中借用向量，直線、平面上的點也可以用參數來表示，通過對參數的運算，同樣可以達到求值、證明的目的。
3.1 空間直線：如果 l為經過已知點A且方向向量為a的直線，那么點P在直線l上的充要條件是存在實數t，滿足等式AP=ta，或對任一點O（通常取坐標原點），有
OP=OA+ta
這是空間直線的向量形式。
3.2 空間平面：空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對s、t，使MP=sMA+tMB或對空間任一定點O（通常取坐標原點），有OP=OM+sMA+tMB。
這是空間平面的向量形式。
