高中數學教學中難點突破的實踐和思考

在高中數學教學中，如果學生的數學基礎與所學內容之間差距過大，那么就形成教學難點，教學難點與學生所學的知識和其數學的基礎關系巨大。高中數學新課程實驗后，教學難點發(fā)生了顯著的變化，為了應對這些難點，教師不僅要根據教學內容和學生的基礎，提前充分準備外，還要運用豐富的學科知識，對癥下藥，引導學生突破隨時出現的教學難點。

一、以直觀形象的方法進行難點突破

數學知識往往是抽象的，這就造成了難點，可以以形象直觀的方法進行難點突破。在教學中，多與學生的實際生活聯系，以形象的比喻講解抽象的道理，也可運用多媒體信息技術，在課堂教學中形象地演示知識的生成過程，為學生提供豐富感知，這樣做不僅可以揭示出相關知識中深刻、奧妙的內涵本質，更可以豐富教學手段，活躍課堂氣氛。運用直觀形象的方法進行教學難點的突破，往往高效且省時。

例1.教師在進行概念為“充分條件”和“必要條件”的教學時，學生對“如果p可以推導出q，那么稱p是q的充分條件”是容易理解的，但對“同時稱q是p的必要條件”是很難理解的。于是，教師舉了個例子：買彩票不一定中獎，但如果中獎必定買了彩票，所以買彩票是中獎的必要條件。

本例中，學生很難理解的是：q是p推出的結論，怎么q又成了p的條件呢？于是，教師用生活化的形象比喻，將生活中買彩票的例子與數學教學聯系起來，使學生豁然開朗，高效地突破了教學難點。

二、用舉例歸納的方法進行難點突破

所謂舉例歸納，就是在嘗試研究某個問題，運用大量特殊的情形來得出一類共性的規(guī)律，幫助學生對某些理論理解上的難點進行突破。

例2.《二元一次不等式表示的平面區(qū)域》在上課開始后教師出示問題。

問題1：將點（2，2），（0，4），（3，-1），（-1，3），（1，-2），（4，1）代入直線L的方程2x+y-4＝0的左邊，其值是小于零？等于零？大于零？

問題2：在直角坐標系中畫出這些點與直線L，觀察這些點與直線L位置上的關系？

問題3：請你再取其它一些坐標點試一試，可以得出什么結論？

問題4：在直角坐標系中，2x+y-4＞0，2x+y-4＜0表示的圖形是什么？為什么？

本例中，通過學生的嘗試，舉例歸納，最終得出二元一次不等式表示平面上的一個區(qū)域。通過師生的共同探討，突破了教學難點：為什么要分類？這樣分類合理嗎？

三、用類比遷移的方法進行難點突破

對于受學生的數學基礎水平限制而產生的難點，應從學生目前的知識水平出發(fā)，并結合他們的日常生活去構建新的知識體系。所以，在課堂教學中，可將新舊知識聯系起來，運用類比進行知識遷移，從而實現難點的突破。

例3.在上概念為二面角的課時，教師提出問題。

問題1：請你說出角的定義，你能說出幾種角呢？

問題2：兩個半平面之間有“夾角”嗎？你能否類比角的兩種定義，并且分別給它下一個定義嗎？

問題3：如何刻畫或度量二面角呢？

本例中的難點就是二面角及其平面角的形成過程，教師通過類比遷移的方法，將新舊知識聯系起來，當然這其中還需要輔之實例演示，聯系生活舉出應用的例子等，這種方法使得難點不攻自破。

四、用分層的方法進行難點突破

數學問題往往錯綜復雜，由這種原因造成的難點，要綜合分析，化復雜為簡單，進而進行難點突破。“難點”是各種各樣的，有時是概念、定理等不容易理解，有時是不易察覺問題的認識錯誤，有時是沒有想到方法間的聯系等等。教學時，要多聯系學生已經學會的知識，將復雜的問題轉化為幾個簡單而基本的問題。同時，對難點的突破方式應根據不同情況加以改進，并有針對性地對學生進行思維疏導，從而有效突破難點。

例4.《橢圓的標準方程》

上課后教師學生共同研究以下問題：

點F1、F2分別是橢圓的兩個焦點，以經過x軸正方向，線段F1F2的中垂線為y軸，建立直角坐標系xOy。設P（x，y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c（c＞0），那么焦點F1、F2的坐標分別為（-c，0），（c，0），又設P與F1、F2的距離之和等于2a，根據橢圓的定義，則有│PF1│+│PF2│＝2a，求橢圓的方程并簡化方程。

為幫助學生簡化這個復雜的問題，教師要求學生首先完成下面的問題：

已知橢圓的兩個焦點分別是（-2，0），（2，0）坐標，橢圓上P點到兩個焦點的距離之和為6，求橢圓的方程并簡化這個方程。

本例中，簡化含字母a和c的復雜方程是教學中的難點，因此先讓學生解決一個相對簡單的問題。

五、用變式質疑的方法進行難點突破

在數學教學中，當給出一些新的定義、公式、法則、定理后，為了幫助學生加深理解它們的含義，可采用變式質疑的方法，通過思考討論，幫助學生突破思維上的障礙，從而突破定義、公式、法則、定理等難點。

例5.《函數的奇偶性》

在給出奇函數和偶函數的定義后，教師提出以下問題供學生思考討論。

問題1：判斷下列函數哪些是奇函數？哪些是偶函數？

（1）f（x）＝x4+1；（2）f（x）＝x+1/x；（3）f（x）＝（x-1）2。

問題2：請舉出一些奇函數或偶函數的例子？

問題3：對于定義在R上的函數f(x)，判斷下列命題是否正確。

（1）若f（-2）＝f（2），則函數f（x）是偶函數；

（2）若f（-2）≠-f（2），則函數f（x）不是奇函數。

本例中，通過3個問題，幫助學生加深對奇函數和偶函數定義的理解，并引導學生發(fā)現奇偶性的函數的定義域關于數0對稱的特征，這對提高學生的認知水平和難點的突破非常有意義。

總之，教學難點的突破方法有很多，但這需要教師深入了解學生，并認真鉆研教材，組織好課堂教學，合理地設計教學內容，合理地處理好基礎知識和發(fā)展認識水平之間的關系，不斷提高數學課堂教學的實效性。

（作者單位：江蘇省高郵中學）