平面向量坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)際運(yùn)用及易錯(cuò)案例剖析

平面向量章節(jié)是中等專業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的重要組成部分，在學(xué)生專業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)中具有廣泛的應(yīng)用。現(xiàn)就平面向量坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)在實(shí)際問題中的運(yùn)用以及易錯(cuò)案例進(jìn)行簡要闡述。

一、向量坐標(biāo)運(yùn)算在具體問題中的運(yùn)用

案例一：如圖所示，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且使BD/DC=CE/EA=FA/FB，求證：△ABC與△DEF的重心相同。

分析：要證△ABC與△DEF的重心相同，就是要證明表示重心的兩點(diǎn)相同，一種方法是利用向量相等，另一種方法就是證明兩個(gè)重心的坐標(biāo)相同。

證法1：設(shè)△ABC的重心為點(diǎn)G，△DEF的重心為點(diǎn)G’，設(shè)BD/DC=CE/EA=FA/FB=λ（λ∈R，λ＞0）則對于平面內(nèi)的任一點(diǎn)O，有OG=1/3（OA+OB+OC），OG'=1/3（OD+OE+OF）.∵BD/DC=CE/EA=FA/FB=λ，∴OD=（OB+λ，OC）/（1+λ），OE=（OC+λOA）（1+λ），OF=（OA+λOB）/（1+λ），∴OD+OE+OF=OA+OB+OC，∴OG=OG'，∴重心G和重心G'重合，∴△ABC與△DEF的重心相同。

證法2：設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（a1，a2），B（b1，b2），C（c1，c2），其重心G的坐標(biāo)為（g1，g2），△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別是D（d1，d2），E(e1，e2)，F(xiàn)(f1，f2)，其重心G’坐標(biāo)為（g'1，g'2），則g1=1/3（a1+b1+c1），g2=1/3(a2+b2+c2)，g'1=1/3(d1+e1+f1)，g’2=1/3(d2+e2+f2).∵BD/DC=CE/EA=FA/FB=λ，BD=λDC，CE=λEB，AL=λFB。∴d1=(b1+λc1)/(1+λ)，d2=(b2+λc2)/(1+λ)，e1=(c1+λa1)/(1+λ)，e2=(c2+λa2)/(1+λ)，f1=(a1+λb1)/(1+λ)，f2=(a2+λb2)/(1+λ). ∴d1+e1+f1=a1+b1+c1，同理，d2+e2+f2=a2+b2+c2. ∴g'=1/3(a1+b1+c1)，

g'2=1/3(a2+b2+c2)， ∴重心G和重心G'重合.

解題策略：證法1使用的是線段定比分點(diǎn)的向量公式，證法2使用的是線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式。同時(shí)，還可以運(yùn)用三角形中的兩個(gè)重要的結(jié)論：G為△ABC的重心?圳GA+GB+GC=0; BD/DC=CE/EA=FA/FB=λ?圳AD+BE+CF=0(D，E，F(xiàn)為△ABC的邊BC，CA，AB上的點(diǎn))進(jìn)行證明。

案例二：已知點(diǎn)O 是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=150°，∠BOC=

90°，設(shè)AO=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，試用a，b表示c。

分析：本題根據(jù)平面向量的基本定理有c=λ1a+λ2b，當(dāng)a，b，c的坐標(biāo)已知時(shí)，該公式實(shí)際上就是一個(gè)關(guān)于λ1，λ2的二元一次方程組，由此可以確定λ1，λ2，這也是本題解答的一個(gè)重要思路。

解：如圖所示，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由三角函數(shù)的定義，得到B

二、向量坐標(biāo)運(yùn)算易錯(cuò)案例辨析

1.對線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式理解不透

案例1：已知三角形的頂點(diǎn)A(2.-5)，B(1.-2)，C(4.7)，求頂角B的角平分線BD的長度。

錯(cuò)解：由角平分線的性質(zhì)，得λ=lADl/lDCl=lBAl/lBCl=1/3.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）， ∵A(2，-5)，B(1，-2)，C(4，7)， ∴x=7/2，y=4. ∴l(xiāng)BDl=13/2。

分析：在使用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí)，要分清起點(diǎn)與終點(diǎn)，以上錯(cuò)誤在于混淆了x1，x2的順序所致。因此，在解答時(shí)，欲求BD的長度，需求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，可以先求出D分AC所成的比，再利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。在使用公式時(shí)，要理解公式中字母x1，x2，y1，y2的意義。（證明過程略）

2.對向量共線的充要條件的坐標(biāo)公式記憶不準(zhǔn)

案例2：已知三點(diǎn)（1.2），（2，4），（3，m）共線，試求m的值。

錯(cuò)解：∵ABC三點(diǎn)共線，∴AB∥BC，∵AB=(1.2)，BC=(1.M-4)，∴1×1-2(m-4)=0，解得m=9/2.

分析：將兩個(gè)向量共線的充要條件的坐標(biāo)公式記錯(cuò)了，不是x1x2-y1y2=0，而是x1y1-x2y2=0。

正解：由題意可知AB∥BC，∵AB=(1.2)， BC=(1.M-4)，∴（m-4）-2-1=0，解得m=6。

（作者單位：江蘇省南京市中華中等專業(yè)學(xué)校）