如何在例題教學(xué)中培養(yǎng)思維能力

【摘要】例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)， 對學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識， 形成數(shù)學(xué)觀念， 提高解題能力， 培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐探索精神， 都起著重要的作用.本文初步探討了怎樣進(jìn)行例題教學(xué)， 使之貼近學(xué)生， 發(fā)揮其作用.

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開例題， 而我們常有這樣的困惑：同類型的例題講過多遍， 學(xué)生反映聽懂了， 可是在下次解題中仍然一知半解.怎樣借助例題教學(xué)優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)呢？ 本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐， 就在例題教學(xué)中如何發(fā)揮學(xué)生的主體作用， 培養(yǎng)思維能力淺談自己的一些體會．

一、由淺及深、以點(diǎn)引面， 使例題有源可循

案例1空間中， n個平面最多將空間劃分為F（n） 個部分（n∈N*）， 如F（1）=2， F（2）=4， F（3）=8， 試求F（n）的解析式．

學(xué)生在嘗試用數(shù)學(xué)歸納法解決這個問題時， 由于給出的項(xiàng)較少， 不便于猜想．同時4 個平面最多將空間劃分成幾部分呢？ 5 個平面.這種思路直接， 但由于后來平面?zhèn)€數(shù)的增多， 使得解答過程比較困難．此時， 可以提出一個學(xué)生熟悉且易解決的問題： 記n條直線最多將平面劃分成的區(qū)域塊數(shù)為f（n）， 則f（n+1）-f（n）=； f（n）= ．

可以分析到， 第n+1 條直線和前面n 條直線都相交時，n 個交點(diǎn)在第n+1 條直線上形成n+1 條線段（或射線）， 這n+1 條線段（或射線） 將原來各自所在的區(qū)域一分為二， 故從n 條直線到n+1 條直線， 最多能多出n+1 塊區(qū)域， 即f（n+1）-f（n）=n+1， 后面結(jié)合f（1）由累加法可以求出f（n） ．

那么這兩個問題除了外在結(jié)構(gòu)上相似， 有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 原來第n+1 個平面與前面n 個平面相交， 形成n 條交線； 這n條交線在第n+1 個平面上最多將其劃分為f（n）塊區(qū)域， 而每一塊區(qū)域?qū)⒃瓉砀髯运诘目臻g一分為二。所以從n 個平面到n+1 個平面， 最多能多出f（n）個部分，即F（n+1）-F（n） =f（n）．

由于認(rèn)知程度不同， 學(xué)生在接觸某些題目時， 往往會出現(xiàn)沒有思路、全然不知從何下手的情況．這就需要教師精選例題時， 能夠揭示例題的淵源， 甚至它的發(fā)展方向，讓它成為學(xué)生解題的源頭活水， 使得解題可持續(xù)發(fā)展．

二、改造例題環(huán)境， 開拓思維、靈活變通案

例2已知，x－y+2 0x＋y-4 02x-y-550， 求z=x+2y-4 的最大值與最小值．考查簡單的線性規(guī)劃， 借助幾何途徑來解決代數(shù)問題．學(xué)生作出可行域后， 找到目標(biāo)函數(shù)的幾何意義， 利用圖形可以完成解題過程．后面我們不妨設(shè)置這樣的一些問題讓學(xué)生思考：

（1） 若將目標(biāo)函數(shù)換為： ①z=2x+y-4； ②z=-x-y+4， 則結(jié)果有無變化？ 如果有變化， 是什么導(dǎo)致的？ 在變化過程中， 我們應(yīng)當(dāng)注意什么？

（學(xué)生通過作圖比較， 得出結(jié)果發(fā)生了變化， 是目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線的斜率導(dǎo)致的， 解題時應(yīng)特別關(guān)注目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線與可行域邊界直線的相對傾斜程度， 把握圖形的準(zhǔn)確性.并且會發(fā)現(xiàn)②中使得z=-x-y+4 取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個。）

（2） 若z=ax+y（a<0） 取最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個， 則a 應(yīng)滿足什么條件？ 若僅在邊界C點(diǎn)處取到最大值呢？（由（1）中的②進(jìn)一步演變， 尋找滿足條件的線性目標(biāo)函數(shù)， 并嘗試從中歸納一些性質(zhì).）

（3） 求z=x2+y2-10y+25 的最小值；

（4） 求z=2y+1x+1的取值范圍；

（再次改變目標(biāo)函數(shù)， 體現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義， 可以借助一組平行直線、兩點(diǎn)間的距離、兩點(diǎn)連線的斜率等等.）

（5） 請學(xué)生思考能否構(gòu)造其他不同結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)？

（鼓勵學(xué)生進(jìn)一步尋找探究， 待其提出方案后， 可及時討論解決.）

數(shù)學(xué)習(xí)題浩如煙海無窮無盡， 怎樣使得有限的例題發(fā)揮極大的作用呢？ 對例題環(huán)境進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑欤?如加一個條件如何， 減一個條件如何， 變換某些條件又如何？ 不拘一格， 一題多問， 一問多變， 擴(kuò)大例題的輻射面， 對培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度很有幫助.

例題不是教師的專利， 不一定都需要在教師的分析、講解中完成， 可以允許學(xué)生在解題中出現(xiàn)錯誤．在例題教學(xué)中， 學(xué)生質(zhì)疑的問題可以成為最值得開拓的教學(xué)素材；意見的分歧也可以成為重要的教學(xué)熱點(diǎn)； 甚至偶發(fā)事件中也蘊(yùn)涵著可貴的教學(xué)課題．總之， 學(xué)生的思想、創(chuàng)意、觀念、問題都可以成為課堂教學(xué)動態(tài)生成的資源.

如何針對知識結(jié)構(gòu)、思想方法進(jìn)行例題教學(xué)， 充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用， 引領(lǐng)學(xué)生在探究活動中學(xué)會思考， 在情景變化中提升應(yīng)變能力， 在辨析錯誤中優(yōu)化思路？ 我們在實(shí)踐教學(xué)中應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持探索和不斷調(diào)整， 使之有助于激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

【參考文獻(xiàn)】

［1］ 蔡先明. 例談新課程理念下課本例習(xí)題的教學(xué). 高中數(shù)學(xué)教與學(xué). 2006 年.

［2］ 王貴喜. 優(yōu)化例題教學(xué).提高思維能力. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué). 2007 年.