“恒成立”“能成立”“恰成立”問題

摘 要:“恒成立”，“能成立”，“恰成立”問題在教材中雖然沒有專門設計，但這些內容是高中內容的重點、難點，同時也是高考和數學競賽的熱點，又因為它們的解法多樣，所以這三類問題考生容易混淆不清，筆者認為分離變量法和函數法具有思路清、操作強、易掌握等特點，所以在解決“恒成立”，“能成立”，“恰成立”問題是很好的方法。

關鍵詞:恒成立能成立恰成立方法

中圖分類號:G40文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)08(a)-0189-01

1 “恒成立”問題

[例1](2010天津理數)設函數，對任意，≤恒成立，則實數的取值范圍是_______。

【解析】(分離變量法)依據題意并分離變量得：≤在上恒成立。當時函數取得最小值，所以≤，解得≤或≥。

另解(函數法)接上解得:≥0在上恒成立。令，則∴令≥在上恒成立。

∴≥且≥ ∴得≤或≥

【提示1】本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題的第一種解法是利用分離變量轉化為最值的方法求解，即通過分離使其成為≤，然后解這個函數的最小值得≥(或)，所以≤，若對原有不等式通過分離變量的方法他離出變量式使其成為，然后解這個函數的最小值得≥或，所以(或≤)，其基本步驟:分離變量，構造函數，求最值。同學們可以類比得出若通過分離變量的方法分離出變量式使其成為≥或的結論。解決恒成立問題的第二種解法是函數法，即通過構造函數，再利用函數的特性分析解決問題，此例充分體現了分離變量的優越性，顯然要比函數法簡單且不易出錯。

變式引深:若函數在上為增函數，求的取值范圍。

解:依題意得:≥在上恒成立，即≤在上恒成立

令，∴0，

∴在[0，2]可能的最小值為、、

∴解得≤

【提示2】若此類問題分離變量后(見提示1)，的最值難以確定，我們只須分析可能的最值就可以了。

[例2]已知函數，若≥對任意，恒成立，求實數的取值范圍。

解:利用導數易得的最小值是

∴≤在上恒成立

即≤在[-1，1]上恒成立

令∴解得

【提示3】若分離變量不容易時，應選擇函數法求解。

2 “能成立”問題

[例3]設，，若不等式≤能成立，求實數的取值范圍

解:分離變量得:≥≥，∴≥即≤

【提示4】此例為不等式能成立問題，解決此問題通常可以利用分離變量轉化為最值的方法求解，即對原有不等式通過分離變量的方法分離出變量式使其成為≤，然后解這個函數的最大值得≤(或)，所以≤，同學們可以類比得出或≥或的結論。

變式引深:若關于的方程能成立，求實數的取值范圍。

解(分離變量法):∵關于的方程能成立

∴≥即≥∴≤

【提示5】此例是方程能成立問題，若能通過適當的變形，使其成為的形式，則屬于的值域，此法充分體現了分離變量的優越性，顯然要比函數法簡單且不易出錯，不過當分離變量不容易時，應選擇函數法求解。

3 “恰成立”問題

[例4]函數有且僅有一個正實數的零點，求實數的取值范圍。

解(分離變量法):由分離變量得，即與在上有且僅有一個交點

∴或≤

【提示6】此例為方程恰成立問題，解決恰成立問題通常可以利用分離變量轉化為函數與方程的方法求解，使其成為，然后討論函數y=的交點的個數。解決恰成立問題也可用函數法求解，此例分離變量法簡單。

變式引深2:若只有一個實數滿足不等式≤，求實數的取值范圍。

解:依題意即求拋物線在軸和軸下方只有一個點

∴△=

∴或

【提示7】此例也為不等式恰成立問題，解決不等式恰成立問題通常可以利用分離變量轉化為函數與不等式的方法求解，其成為≤，然后討論函數y=在圖像上規定區域交點的個數。

“恒成立”“能成立”“恰成立”問題通過以上實例可以看出分離變量法和函數法是基本的方法，又因分離變量法 容易掌握，因此分離變量法因優先考慮，其次廣大讀者要認真類比三類問題，不可混淆。