旋轉在數學問題中的運用

在平面內把某圖形繞一個定點旋轉一個角度，這樣的變換叫旋轉變換，這個定點叫做旋轉中心，這個角叫做旋轉角. 旋轉變換是平面幾何里的最基本的變換之一，能夠真正掌握并能熟練運用，在解決有關問題時，就會感覺無比輕松了. 例如：

一、三角形中的旋轉

如圖１，正方形ＣＤＥＦ內接于Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＥ ＝ ３，ＢＥ ＝ ４，求圖中陰影部分的面積.

思路 如圖２，正方形ＣＤＥＦ中，ＥＤ ＝ ＥＦ，∠ＤＥＦ ＝ ９０°，若把△ＥＡＤ繞點Ｅ逆時針旋轉９０°，使ＥＤ和ＥＦ重合，∠ＡＥＤ旋轉到∠ＧＥＦ的位置，此時△ＡＥＤ和△ＧＥＦ重合，且△ＧＥＢ為直角三角形，則圖中陰影部分的面積就等于Ｒｔ△ＧＥＢ的面積，即陰影部分的面積為６．

已知：如圖３，等邊三角形ＡＢＣ中，Ｄ為形外一點，∠ＢＤＣ ＝ １２０°，ＤＢ ＝ ＤＣ，Ｅ，Ｆ分別在ＡＢ，ＡＣ上，且∠ＥＤＦ ＝ ６０°，求證：ＢＥ ＋ ＣＦ ＝ ＥＦ．

思路 如圖４，ＤＣ ＝ ＤＢ，∠ＣＤＢ ＝ １２０°，若把△ＤＣＦ繞點Ｄ逆時針旋轉１２０°，與△ＤＢＧ重合，由等邊三角形ＡＢＣ中，Ｄ為形外一點，∠ＢＤＣ ＝ １２０°，ＤＢ ＝ ＤＣ可知，∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，故∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，即∠ＤＢＧ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，從而點Ｇ，Ｂ，Ｅ共線，ＧＥ ＝ ＢＥ ＋ ＢＧ ＝ ＢＥ ＋ ＣＦ，故只需再證明ＧＥ ＝ ＥＦ即可. 由旋轉知ＧＤ ＝ ＤＦ，∠ＧＤＥ ＝ ∠ＧＤＢ ＋ ∠ＢＤＥ ＝ ∠ＦＤＣ ＋ ∠ＢＤＥ ＝ ６０° ＝ ∠ＥＤＦ，又ＤＥ為公共邊，所以△ＧＤＥ ≌ △ＦＤＥ，得ＥＧ ＝ ＥＦ，于是命題得證．

二、正方形中的旋轉

已知：如圖５，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分別是ＣＤ，ＢＣ上的點，∠ＥＡＦ ＝ ４５°，

求證：ＢＦ ＋ ＤＥ ＝ ＥＦ．

思路 如圖６，正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ ＝ ＡＢ， ∠ＤＡＢ ＝ ９０°，把Ｒt△ＡＤＥ繞點Ａ順時針旋轉９０°，與Ｒt△ＡＢＧ重合，此時∠ＡＢＦ ＝ ∠ＡＢＧ ＝ ９０°，從而點Ｇ，Ｂ，Ｆ共線，ＧＦ ＝ ＢＦ ＋ ＢＧ ＝ ＢＦ ＋ ＤＥ，故只需再證明ＧＦ ＝ ＥＦ即可. 由旋轉知ＡＧ ＝ ＡＥ， ∠ＧＡＦ ＝ ∠ＧＡＢ ＋ ∠ＢＡＦ ＝ ∠ＤＡＥ ＋ ∠ＢＡＦ ＝ ４５° ＝ ∠ＥＡＦ，又ＡＦ為公共邊，所以△ＧＡＦ ≌ △ＥＡＦ，得ＧＦ ＝ ＥＦ，于是命題得證．

已知：如圖７，點Ｐ為正方形ＡＢＣＤ內一點，ＰＡ ＝ １，ＰＢ ＝ ２，ＰＣ ＝ ３，求∠ＡＰＢ的度數．

思路 如圖８，正方形ＡＢＣＤ中，ＢＣ ＝ ＢＡ，∠ＣＢＡ ＝ ９０°，若把△ＢＣＰ繞點Ｂ逆時針旋轉９０°，與△ＢＡＥ重合，則△ＰＢＥ為等腰直角三角形，∠ＢＰＥ ＝ ４５°，且ＢＥ ＝ ＢＰ ＝ ２，從而求得ＥＰ ＝ ２■，在△ＡＰＥ中，由勾股定理的逆定理可知∠ＡＰＥ ＝ ９０°，所以∠ＡＰＢ ＝ ４５° ＋ ９０° ＝ １３５°．

三、圓中的旋轉

已知：如圖９，Ｐ是等邊三角形ＡＢＣ的外接圓的弧ＢＣ上任一點，求證：ＰＢ ＋ ＰＣ ＝ ＰＡ．

思路 如圖１０，△ＡＢＣ是等邊三角形，ＡＢ ＝ ＡＣ，∠ＢＡＰ ＝ ∠ＢＣＰ，把△ＢＰＣ繞點Ｂ逆時針旋轉６０°，ＢＣ和ＢＡ重合，∠ＢＣＰ旋轉到∠ＢＡＤ的位置，同時△ＢＰＤ也為等邊三角形，此時ＰＤ ＝ ＢＰ，ＡＤ ＝ ＰＣ，所以ＰＢ ＋ ＰＣ ＝ ＰＡ．

有關旋轉的問題遠不止這些，這里就不一一列舉. 由以上問題的解決可以看出：從運動的觀點來觀察、認識、處理圖形，利用旋轉思想解決有關問題確實有很大的優點. 教學中如果能讓學生認識到這一點，就能更有效地提高學生的分析問題和解決問題的能力.