建構(gòu)基本圖形 走進(jìn)自由王國(guó)

平面幾何中，在解決問題時(shí)常要添加輔助線.而添加輔助線的重要方法之一是建構(gòu)基本圖形.本文列舉了五個(gè)常用基本圖形，并以五個(gè)例題的解答方法，說(shuō)明建構(gòu)基本圖形的重要作用.同時(shí)也指出，再?gòu)?fù)雜的圖形，都是由基本圖形構(gòu)成的，或者是可以轉(zhuǎn)化成基本圖形的.

下面我們來(lái)熟悉五個(gè)基本圖形以及這五個(gè)基本圖形的建構(gòu)，以起到拋磚引玉之功效.

一、五個(gè)基本圖形

如圖1，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分別是ＡＢ，ＡＣ的中點(diǎn)，我們立即可得： ＤＥ∥ＢＣ且ＤＥ ＝ ■ＢＣ.

如圖2，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ ＝ ９０°，Ｄ是ＡＣ中點(diǎn)，我們立即可得ＢＤ ＝ ■ＡＣ.

如圖3，ＯＰ平分∠ＡＯＢ，ＣＤ∥ＯＢ交ＯＡ于Ｃ，交ＯＰ于Ｄ，不難得到ＣＤ ＝ ＯＣ.

如圖4，ＯＰ平分∠ＡＯＢ，ＣＤ⊥ＯＰ分交ＯＡ，ＯＢ，ＯＰ于點(diǎn)Ｃ，Ｄ，Ｅ，則易得ＯＣ ＝ ＯＤ，ＣＥ ＝ ＤＥ.

如圖5，ＯＣ平分∠ＡＯＢ，Ｐ在ＯＣ上，ＰＥ⊥ＯＡ于Ｅ，ＰＦ⊥ＯＢ于Ｆ，可得ＰＥ ＝ ＰＦ.

本文僅就這五個(gè)基本圖形的建構(gòu)和應(yīng)用來(lái)說(shuō)明它們?cè)诮忸}中的作用.

二、小試牛刀

例 如圖6，△ＡＢＣ中ＡＤ平分∠ＢＡＣ， Ｄ是ＢＣ中點(diǎn)，求證：ＡＢ ＝ ＡＣ.別小看這一題目，弄不好就會(huì)不知不覺地誤入歧途. 曾有學(xué)生快速給出“證明”：

證明 ∵ ＡＤ ＝ ＡＤ，∠１ ＝ ∠２，ＢＤ ＝ ＣＤ，∴△ＡＢＤ ≌ △ＡＣＤ，∴ ＡＢ ＝ ＡＣ.

以上證明正確嗎？其實(shí)，這樣證明是錯(cuò)誤的，犯了“邊邊角”的錯(cuò)誤.那么，如何證明？這就需要我們?nèi)ソ?gòu)“橋梁”.本題證法很多，這里只舉兩種方法，供大家思考體會(huì).

證明方法一 如圖7，取ＡＢ中點(diǎn)Ｅ，連接ＤＥ.

此證法通過添加三角形的中位線，建構(gòu)了基本圖形1，3，從而使問題得以解決.

證明方法二 如圖8作ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ于Ｆ.

此證法通過添加輔助線，建構(gòu)基本圖形5，從而使問題得以解決.

三、小菜一碟

如圖9，ＢＤ，ＣＥ分別是△ＡＢＣ的高，Ｆ是ＢＣ中點(diǎn)，ＦＧ⊥ＥＤ于Ｇ. 求證：ＥＧ＝ＧＤ.

注意：這里的高表明△ＢＥＣ，△ＢＤＣ都是直角三角形，ＢＣ是它們的斜邊， Ｆ是斜邊中點(diǎn)，只要連接ＦＥ，ＦＤ，問題立即可解.這里建構(gòu)的是基本圖形2，證明略.

四、似難卻易

如圖10，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是中線，求證：ＡＤ ＜ ■（ＡＢ ＋ ＡＣ）.

本題看起來(lái)圖形簡(jiǎn)單，條件少，然而想要正確證明，卻并不容易.其實(shí)，只要作出中位線，建構(gòu)成基本圖形1，則問題迎刃而解.

五、就這么簡(jiǎn)單

如圖11，已知△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＣ⊥ＡＤ于Ｄ，Ｅ是ＢＣ中點(diǎn)，求證：ＤＥ∥ＡＢ.

本題只要延長(zhǎng)ＣＤ交ＡＢ于Ｆ，則建構(gòu)出基本圖形4，可證得ＣＤ ＝ ＤＦ，結(jié)合ＣＥ ＝ ＢＥ，則ＤＥ∥ＡＢ可得.

六、再證一題

如圖12，在四邊形ＡＢＣＤ中，ＡＤ ＝ ＢＣ，Ｅ，Ｆ分別是ＤＣ，ＡＢ的中點(diǎn)，ＦＥ的延長(zhǎng)線分別交ＡＤ延長(zhǎng)線和ＢＣ延長(zhǎng)線于Ｈ，Ｇ， 求證：∠Ｈ ＝ ∠ＦＧＢ.

本題圖形較為復(fù)雜，條件分散，證明較為困難.但只要充分利用中點(diǎn)條件，設(shè)法建構(gòu)基本圖形1，則此題易解.

請(qǐng)看，連接ＢＤ，取ＢＤ中點(diǎn)Ｓ，連ＳＥ，ＳＦ. 如此建構(gòu)，妙招連連，其一將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形，其二建構(gòu)三角形中位線，其三實(shí)現(xiàn)了把分散的∠Ｈ和∠ＦＧＢ，以及已知條件ＡＤ ＝ ＣＢ減半后，都集中到△ＳＥＦ中，進(jìn)而使問題得解.證明略.

在幾何學(xué)習(xí)中，圖形的證明一直是部分同學(xué)感到棘手的問題.其實(shí)，只要我們能認(rèn)真學(xué)習(xí)并掌握每一個(gè)基本圖形及相關(guān)定理，并能根據(jù)題目中給出的信息，開動(dòng)腦筋，積極思考，建構(gòu)相關(guān)圖形，并確信任何復(fù)雜的圖形都是由基本圖形構(gòu)成的或者是可以轉(zhuǎn)化成基本圖形的，這樣，就能把復(fù)雜且陌生的未知問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的已知問題去解決.只有我們勇于探索、善于思考、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、樹立信心，就一定能學(xué)好數(shù)學(xué)、學(xué)好幾何.