相似三角形教學中的錯題研究

【摘要】 相似三角形是中學數學的重要內容，學生在解題時出錯是一個普遍現象，經常對錯題進行分析、總結，將有利于理清學生學習過程中產生錯誤的類型，把握學生出錯的特征，分析學生產生錯誤的歸因以及影響因素和各因素相互關系. 筆者對相似三角形教學中的常見錯誤做了分析.

【關鍵詞】 相似三角形；教學；錯題研究

相似三角形是在全等三角形的基礎上的拓廣和發展，這部分知識是初中數學的重點內容，已成為歷年中考的熱點之一，考查內容大致有三個部分：一是相似三角形的判定；三是利用相似三角形的性質解題；三是與相似三角形有關的綜合題. 相似三角形的教學，在初中的幾何教學中也是一個難點，教師難教，學生難學. 教學困難的原因在于：對“相似”這個概念，學生容易出現“模糊”理解；其次在于相似形的圖形比較復雜，往往讓很多學生感覺無門可入. 同學們在學習過程中，又往往由于對某些概念和定理模糊不清或理解不夠透徹，運用上常常遇到困難，因而在解題時常會出現這樣或那樣的錯誤.

導致學生解題經常出錯的原因是多方面的. 就相似三角形問題的出錯來說，總結起來主要有以下幾個方面：

１. 用錯對應邊

例１ 如圖，在△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，且■ = ■，ＤＥ ＝ ８ ｃｍ，求ＢＣ的長.

錯解 ∵ ＤＥ∥ＢＣ，

∴ △ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，

∴ ■ = ■，

∴ ■ = ■，

即ＢＣ ＝ ■.

評析 本題用錯了相似三角形的對應邊，由ＤＥ∥ＢＣ只能得到■ = ■，錯解中把ＡＢ誤認成ＤＢ.

正解 ∵ ＤＥ∥ＢＣ，

∴ △ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，

∴ ■ ＝ ■，

∴ ■ ＝ ■， 即ＢＣ ＝ ■．

２. 用錯對應頂點

例２ 如圖，四邊形ＡＢＣＤ，ＣＤＥＦ，ＥＦＧＨ都是正方形，△ＡＣＦ與△ＡＣＧ 相似嗎？說明理由.

錯解 △ＡＣＦ與△ＡＣＧ不相似設正方形的邊長為ａ，則：ＣＦ ＝ ａ，ＡＣ ＝ ■ａ， ＡＦ ＝ ■ａ， ＡＧ ＝ ■ａ.

∴ ■ = ■ = 1，■ = ■ = ■，■ = ■ = ■.

∴ ■ ≠ ■≠ ■.

在△ＡＣＦ與△ＡＣＧ中，

∵ ■ ≠ ■≠■，

∴ △ＡＣＦ與△ＡＣＧ不相似．

評析 錯解是因為思維定勢，錯認為△ＡＣＦ與△ＡＣＧ相似的對應頂點就是Ａ與Ａ，Ｃ與Ｃ，Ｆ與Ｇ對應.

正解 設正方形的邊長為ａ，則：

ＣＦ ＝ ａ，ＡＣ ＝■ａ， ＡＦ ＝ ■ａ， ＡＧ ＝ ■ａ，

∴ ■ = ■ = ■，■ = ■ = ■，

■ = ■ = ■，

∴ ■ = ■ = ■.

在△ＡＣＦ與△ＧＣＡ中，

∵ ■ = ■ = ■，

∴△ＡＣＦ∽△ＧＣＡ.

３. 考慮問題不全面

例３ 如圖，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ６，ＡＣ ＝ ８，Ｄ是ＡＢ的中點，試在ＡＣ上確定一點Ｅ，使得△ＡＤＥ與原三角形相似，并求出ＡＥ的長？

錯解 當ＤＥ∥ＢＣ時，△ＡＤＥ與原三角形相似.

此時有，■ = ■，

即■ = ■，∴ ＡＥ ＝ ４.

評析 解法不完整，由于考慮問題不全面，因而致錯. △ＡＤＥ與原三角形相似不是只有當ＤＥ∥ＢＣ時這一種情況.

正解 ∵△ＡＤＥ與原三角形有公共角∠Ａ，

∴ Ａ的對應點是Ａ，

當△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ時，■ ＝ ■，即 ■ ＝ ■，

∴ ＡＥ ＝ ４.

當△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ時，ＡＥ ＝ ２．２５.

例４ 如圖，正方形ＡＢＣＤ的邊長為２，ＢＥ ＝ ＣＥ，ＭＮ ＝ １線段ＭＮ的兩端在ＣＤ，ＡＤ上滑動，當ＤＭ ＝ 時，△ＡＢＥ與以Ｄ，Ｍ，Ｎ為頂點的三角形相似.

錯解 ∵正方形ＡＢＣＤ的邊長為２，ＢＥ ＝ ＣＥ，

∴ ＢＥ ＝ １，ＡＥ ＝ ■，

當△ＡＢＥ與△ＤＭＮ相似時，■ ＝ ■，

即■ ＝ ■.

評析 本題也是考慮問題不全面，導致錯誤.

正解 ∵正方形ＡＢＣＤ的邊長為２，ＢＥ ＝ ＣＥ，

∴ ＢＥ ＝ １，ＡＥ ＝ ■，

當△ＡＢＥ∽△ＤＭＮ，

■ ＝ ■，即■ ＝ ■，∴ ＤＭ ＝ ■，

當△ＡＢＥ與△ＤＮＭ相似時，ＤＭ ＝ ■.

∵ Ａ的對應點只能是Ｄ，∴沒有第三種情況了.

４. 沒掌握相似三角形的性質

例５ 如圖，ＤＥ∥ＢＣ，分別交ＡＢ，ＡＣ于點Ｄ，Ｅ，ＤＥ把△ＡＢＣ分成的兩部分的面積比為１ ∶ ３，試計算■的值.

錯解 ∵相似三角形的面積比等于相似比的平方，

∴ ■ = ■.

評析 本題錯在對相似三角形的性質不熟．我們知道相似三角形的面積比等于相似比的平方，但題目中的１ ∶ ３并不是兩個相似三角形的面積比.

正解 ∵ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ把△ＡＢＣ分成的兩部分的面積比為１ ∶ ３，

∴△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，△ＡＤＥ與△ＡＢＣ的面積比為１ ∶ ４.

∵ 相似三角形的面積比等于相似比的平方，

∴ ■ = ■.